证明是一个关联结构（概率论）

opuikl_0

已知 $Z_1, Z_2, Z_3$ 是独立的标准正态随机变量. 定义：
\begin{align*}
U & :=\Phi(Z_1),\\
V & :=\Phi(-\sqrt{\alpha_2}\Phi^{-1}(\min\{2Y,2-2Y\})+\sqrt{1-\alpha_2}Z_3),
\end{align*}
其中 $Y:=\Phi(\sqrt{\alpha_1}Z_1+\sqrt{1-\alpha_1}Z_2), \alpha_1:=0.7,  \alpha_2:=0.8,\Phi$是标准正态的累积分布函数cdf，$\Phi^{-1}$是它的倒数(inverse). 记C是随机向量(U,V)的联合累积分布函数(joint cdf).
证明: C是一个关联结构(copula).

谢谢

opuikl_0

这题应该等价于证明U和V都服从[0,1]上的均匀分布，但接下来怎么证还是没具体思路

战巡

回复 2# opuikl_0


这不是挺显然的么...
如果$X$有CDF$F(x)$，那么$F(X)\sim UNIF(0,1)$
因此$U=\Phi(Z_1)\sim UNIF(0,1)$

至于$V$，首先显然$\sqrt{\alpha_1}Z_1+\sqrt{1-\alpha_1}Z_2\sim N(0,1)$
\[Y=\Phi(\sqrt{\alpha_1}Z_1+\sqrt{1-\alpha_1}Z_2)\sim UNIF(0,1)\]
\[min\{2Y,2-2Y\}\sim UNIF(0,1)\]
\[\Phi^{-1}(min\{2Y,2-2Y\})\sim N(0,1)\]
由于$Y$只和$Z_1,Z_2$有关，和$Z_3$独立，上面这些也和$Z_3$独立，有
\[-\sqrt{\alpha_2}\Phi^{-1}(min\{2Y,2-2Y\})+\sqrt{1-\alpha_2}Z_3)\sim N(0,1)\]
\[V=\Phi(-\sqrt{\alpha_2}\Phi^{-1}(min\{2Y,2-2Y\})+\sqrt{1-\alpha_2}Z_3)\sim UNIF(0,1)\]

opuikl_0

回复 3# 战巡


谢谢楼上的回复！已经看明白了！
另外还有俩小问，要用到软件R, 不理解到底该怎么操作, 能否请你再帮忙看下，给些思路或者提示，谢谢谢谢！

(X,Y)是一个服从标准正态边缘分布的随机向量，C是一个关联结构.
1）模拟独立随机向量$$(X_i,Y_i), i=1,…,10000, $$
其中$(X_i,Y_i)$服从与(X,Y)相同的分布，并画出$(X_i,Y_i), i=1,...,10000$ 的散点图(scatter plot).

2）通过画分位图(Q-Q plot)来判断样本$$X_i+Y_i, i=1,...,10000$$是否服从正态分布. 另外，能得到有关随机向量(X,Y)的联合正态性(joint normality)的什么结论？

opuikl_0

第一小问的模拟应该是要我们画出下面这样的图，不知道怎样画？

战巡

回复 4# opuikl_0

r的话硬来就好了，反正每个函数都有
X=rnorm(10000,0,1)
z2=rnorm(10000,0,1)
z3=rnorm(10000,0,1)
Y=-sqrt(0.8)*qnorm(min(2*pnorm(sqrt(0.7)*X+sqrt(0.3)*z2,0,1),2-2*pnorm(sqrt(0.7)*X+sqrt(0.3)*z2,0,1)))+sqrt(0.2)*z2

plot(X,Y)   

至于后面，QQ图是可以判断正态的，但要判断联合正态性这样不够，联合正态性要求对任意$a,b$都有$aX+bY$为正态才行
联合正态性可以用Mardia检验或卡方QQ图
Mardia检验：
如果向量$z\sim N_p(\mu,\Sigma)$，则令
\[\hat{\beta}_{1,p}=\frac{1}{n^2}\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^ng_{ij}^3\]
\[\hat{\beta}_{2,p}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ng_{ij}^2\]
其中$g_{ij}=(z_i-\bar{z})^TS^{-1}(z_j-\bar{z})$
而后有
\[\kappa_1=\frac{n\hat{\beta}_{1,p}}{6}\sim \chi^2(\frac{p(p+1)(p+2)}{6})\]
\[\kappa_2=\frac{\hat{\beta}_{2,p}-p(p+2)}{\sqrt{\frac{8p(p+2)}{n}}}\sim N(0,1)\]
两个有一个显著就可以拒绝了

opuikl_0

回复 6# 战巡

谢谢回复！

你可能不小心把V的定义式看成Y的了，但是道理我明白了！
可是针对“模拟(X,Y)”的部分，还是不知该如何下手，你有没有学过多种关联结构的算法？比如下面的这些：

1，基础型关联结构(fundamental copulas):
(1)独立关联结构(independence copulas)
(2)comonotonicity copulas，其中2d的叫Freshet lower bound

2，暗示的关联结构(implicit copulas):
(1)高斯关联结构(Gauss copula),其中2d的叫countermonotonicity copula
(2)t分布关联结构(t copula)

3，明示的关联结构(explicit copulas)：
(1)Gumbel copula
(2)Clayton copula

在这道题里，不知道X与Y的联合累积分布函数cdf，该怎么去做模拟呢？以上的这些，有哪些适用？知道它们各自的定义式，可不知道算法该怎么写，能不能麻烦你再帮帮忙！谢谢！

opuikl_0

另外我画出了下面这个QQ图，该怎么表述比较好？单单说它跟直线很接近所以服从正态分布，感觉有点不严谨

战巡

回复 7# opuikl_0


你这里根本就没有$X$，很自然的我会认为你的$(X,Y)$就是$U,V$，或是$U,V$在转换为均值之前的两个随机变量

另外，说实话我真不明白你们怎么会去纠结这个什么关联结构，劳资一个统计学phd上过茫茫多概率论的课，无论是概统、概率论还是高等概率论都没有提过什么关联结构的事，可见这玩意根本就不重要
要搞数值模拟顶多用Metropolis-Hasting，或者其更特殊情况Gibbs抽样

至于QQ图，本来就是这样的，它根本不是个检验，只能给你看个大概，你说它接近直线就完事了，如果要严格的解释，麻烦去做Anderson-Darling、Shapiro-Wilk、Kolomogov-Smirnov之类的检验

opuikl_0

回复 9# 战巡


phd！！谢谢你的回帖！

如果认为题目里的(X,Y)就是(U,V)的话，就是用你在6楼写的代码去画散点图吗？你的代码里面把最外层的Phi去掉没有考虑，这是什么原因？

这题目也没有讲清楚X,Y的定义和它们的联合累积分布函数，我们同学也都是懵逼脸相对，实在是不知从何下手，能不能再麻烦你一次，帮忙想想该怎么画出5楼贴出的那种图（基础型关联结构的图是3D的）？

opuikl_0

回复 9# 战巡

不好意思，是我想多了，这题我们画一个QQ图和散点图应该就够了.....

你之前的代码有一点小问题，加入for循环之后出来了心形！
X=rnorm(10000)
z2=rnorm(10000)
z3=rnorm(10000)
y<-pnorm(sqrt(0.7)*X+sqrt(1-0.7)*z2)
a=array(1:10000)
for(i in 1:10000) a=min(2*y,2-2*y)
Y=-sqrt(0.8)*qnorm(a)+sqrt(1-0.8)*z3
plot(X,Y,pch=20,  col="red")  



现在还疑惑的是下面这个图，是用xiplot函数画出来的判断稳健性(robustness)，不知道你有没有碰到过，不太清楚该怎么分析......
感觉虚线应该是实线的置信区间，但是这实线到底代表的什么走势不明白......

hbghlyj

opuikl_0 发表于 2016-12-13 01:33
a=array(1:10000)
for(i in 1:10000) a[i]=min(2*y,2-2*y)

在你的代码中 [i] 被误转换为 Discuz BBcode，在这种情况下应该使用 [code] 或禁用 BBcode！