一道竞赛题

caesarxiu

设$a,b,c,d$都是实数，$a+2b+3c+4d=\sqrt{10}$,$a^2+b^2+c^2+d^2+(a+b+c+d)^2$的最小值是____

Tesla35

待定系数。柯西一步就可搞定

caesarxiu

我也估计着是用柯西，但是……愿闻其详

kuing

见 forum.php?mod=viewthread&tid=4008 （这帖原本已经删掉，好在一直没有清空回收站）

敬畏数学

确实是比较明显的柯西啊。

caesarxiu

回复 5# 敬畏数学

有时候是看着明显，算起来就麻烦了

caesarxiu

回复 4# kuing
我就说哪有这么明摆的柯西直接套的，真是顶礼膜拜了

realnumber

我想这样也可以处理，先换元$a=\sqrt{10}w,b=\sqrt{10}x,c=\sqrt{10}y,d=\sqrt{10}z$
然后代掉w,固定y,z,看作x的二次函数，得到最小值(是y，z２次式子，且２次项系数没有字母)，再固定z,依次下去...，
也只是想想而已.

caesarxiu

回复 8# realnumber

聪明  。。想想都觉得运算量大，还是想想就好……

caesarxiu

回复 4# kuing

有点疑惑，如果乘以15的话，为什么算得是$\dfrac{2}{3}$.

$15[a^2+b^2+c^2+d^2+(a+b+c+d)^2]$

$=(0^2+1^2+2^2+3^2+1^2)[a^2+b^2+c^2+d^2+(a+b+c+d)^2]$

$\geqslant (a+2b+3c+4d)^2=10$

故   $a^2+b^2+c^2+d^2+(a+b+c+d)^2\geqslant \dfrac{2}{3}$

取等时$a=0,b=\dfrac{1}{\sqrt{15}},c=\dfrac{2}{\sqrt{15}},d=\dfrac{3}{\sqrt{15}}$.

是我算错了吗？还是哪里步骤错了？

kuing

回复 10# caesarxiu

取等有问题