一个群里的四边形问题

hejoseph

已知凸四边形 $ABCD$ 中有 $AB=a$，$BC=b$，$CD=c$，求这个四边形的最大面积。

Infinity

对于给定的 $d$，最大面积的凸四边形为圆内接四边形的面积。这是因为，一般四边形面积公式为\[
S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\frac{\theta}{2}}
\]其中$a,b,c,d$为四边长，$p$ 为半周长，$\theta$ 为相对的内角之和。

不难看出，当四边长给定时，仅当$\theta=\pi$ 时，$\cos^2\frac{\theta}{2}=0$，即圆内接四边形面积最大。

因此只要求出不同的 $d$ 对应的圆内接四边形面积中最大的那个即可。
类似平面连杆机构设计问题，考虑以$b$为水平轴，设杆$a$，杆$c$与水平轴的方向角（逆时针为正）分别为$\alpha,\beta$。考虑到水平方向上的投影关系，以及圆内接四边形对角和为$\pi$，可得\[d=\frac{a\cos\alpha-b-c\cos\beta}{\cos(\alpha+\beta)}\]为了避免出现交叉四边形和凹四边形，有如下相容关系\[0\leqslant \alpha <\pi,\quad0\leqslant \beta<\pi-\arcsin\frac{a\sin\alpha}{\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\alpha}}\tag{*}\]
现在的任务就是求下式在条件(*)下的最大值\[S_O=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)\left(p-\frac{a\cos\alpha-b-c\cos\beta}{\cos(\alpha+\beta)}\right)}\]由于符号的轮换性，只须考虑两种情形：
1）$a\geqslant b\geqslant c$
2）$a\geqslant c\geqslant b$
接下来就是纯粹的二元函数条件最值数学问题了。

hejoseph

这个离最后结论相差还很远，其实 $d$ 就是外接圆的直径，这样就可以列出方程求出 $d$ 了，面积就能确定。

realnumber

我是这样考虑的，先固定BCD三点，可以看出，当AB垂直BD时，三角形ABD面积最大,即四边形面积最大．先固定ABC也是如此，因此可以得到ABCD为圆的内接四边形时，面积最大，且AD为直径．否则可以用反证法证明还有更大的四边形．不过面积怎么用a,b,c表达出来啊？
这样算吗？$arcsin\frac{a}{2r}+arcsin\frac{b}{2r}+arcsin\frac{c}{2r}=\frac{\pi}{2}$,即$4r^3-(a^2+b^2+c^2)r-abc=0$,面积为$\frac{r(a+b+c)}{2}$.

hejoseph

我是这样考虑的，先固定BCD三点，可以看出，当AB垂直BD时，三角形ABD面积最大,即四边形面积最大．先固定ABC ...
realnumber 发表于 2017-1-9 10:25

面积公式不对，你可能用了内切圆的公式了，不过没有简单公式的，解出 $R$ 之后代入有外接圆的面积公式即可，面积虽然也能列出方程来，但比较复杂。

realnumber

回复 5# hejoseph


    哦，大意了，写到后一个混淆了

hejoseph

外接圆半径为
\[
\frac{1}{3}\sqrt{3\left(a^2 + b^2 + c^2\right)} \cos \left(\frac{1}{3}\arccos \frac{3abc\sqrt{3\left(a^2 + b^2 + c^2\right)}}{\left(a^2 + b^2 + c^2\right)^2}\right) 。
\]

这个问题还可以推广：凸 $n$ 边形中 $n-1$ 边长已知，则面积最大时必定有外接圆，且长度未知那边是外接圆直径。

hejoseph

作四边形 $ABCD$ 绕边 $AD$ 中点旋转 $180^\circ$，形成六边形 $ABCDEF$，由等周定理立即得六边形 $ABCDEF$ 有外接圆，且 $AD$ 就是外接圆的直径

青青子衿

偶然翻到一本书里有这个题目
《初等数学研究 Ⅰ》
甘志国
哈尔滨工业大学出版社 2008.09
P367