$\sin x>x-\frac{x^{2}}{\pi}$

hbghlyj

“在所有弧长相同的圆弧中，半圆的面积最大”
半圆 ABC 的面积 $\frac12\pi$ 大于另一个弧长相同的圆弧 DEF 的面积 $\frac12\cdot(\theta-\sin\theta)\cdot(\pi/\theta)^2$，由此得出：
\[\frac12\pi>\frac12\cdot(\theta-\sin\theta)\cdot(\frac\pi\theta)^2\qquad\forall 0<θ<π\]
即
\[\sin\theta>\theta-\frac{\theta^{2}}{\pi} \qquad\forall 0<θ<π\]
其中$θ=∠ DHF$.

lemondian

@hbghlyj:请问一下
(1)“在所有弧长相同的圆弧中，半圆的面积最大”,这个有证明过程吗？
(2)弧长相同的圆弧 DEF 的面积$\frac12\cdot(\theta-\sin\theta)\cdot(\pi/\theta)^2
$-->这个面积如何求得的？

hbghlyj

lemondian 发表于 2024-11-25 13:40
(1)“在所有弧长相同的圆弧中，半圆的面积最大”,这个有证明过程吗？

把弧长$L$的圆弧关于弦作对称，得到周长$2L$的曲线：

根据等周定理，周长相同的曲线中 圆的面积最大。

hbghlyj

lemondian 发表于 2024-11-25 13:40
(2)弧长相同的圆弧 DEF 的面积$\frac12\cdot(\theta-\sin\theta)\cdot(\pi/\theta)^2$-->这个面积如何求得的？

圆弧 DEF 的面积$=$扇形 DEFH 的面积$-$等腰三角形 DFH 的面积
扇形 DEFH 的面积$=\frac12\theta(\pi/\theta)^2$
等腰三角形 DFH 的面积$=\frac12(\sin\theta)(\pi/\theta)^2$

lemondian

1#证明了：当$x\in(0,\pi)$时,$\dfrac{\sinx}{x}\geqslant-\dfrac{x}{\pi}+1$。

实际上：当$x>0$时,$\dfrac{\sinx}{x}\geqslant -\dfrac{x}{\pi}+1$。

那么如何证明：
当$x\in[\pi,+\infty )$时,$\dfrac{\sinx}{x}\geqslant -\dfrac{x}{\pi}+1$。