三角形$a^2+b^2+2c^2=8$

twfx421

回复 20# kuing

看到了，忘记之前也用过一次不等式

isee

在知乎提问又碰到这个了，然后把过程补了，也发过来（两个个人总结）.



题：在三角形 $ABC$ 中满足 $a^2+b^2+2c^2=8$，则三角形 $ABC$ 的面积 $S$ 最大值为_______.

给出两种方法，法 1：




图 1 AD 垂直于 BC

设点 $A$ 在 $BC$ 上的投影为 $D$ 则 $BD+DC=BC=a$，注：这里 $BD,DC$ 均为有向线段，以 $BC$ 方向为正，如图 1. (如果是初次接触，直接当点 $D$ 在 $BC$ 边上)，于是

\begin{gathered} 8=a^2+\color{blue}{b^2}+\color{orange}{2c^2}\\[1em] 8=a^2+(\color{blue}{AD^2+DC^2})+2\color{orange}{(AD^2+BD^2)}\\[1em] 8=a^2+3AD^2+\frac 23\color{red}{\left(\frac 12+1\right)(2BD^2+DC^2)}\\[1em] {}\xlongequal{\small\text{柯西不等式}}{~}8\geqslant a^2+3AD^2+\frac 23\color{red}{\left(BD+DC\right)^2}\qquad\\[1em] 8\geqslant a^2+3AD^2+\frac 23\color{red}{a^2}\\[1em] \boxed{\frac 53a^2+3AD^2 \leqslant 8}. \end{gathered}

从而再由均值不等式有

\begin{align*} 8\geqslant \frac 53a^2+3AD^2 &\geqslant 2\sqrt 5 a\cdot AD\\[1em] \Rightarrow S=\frac 12a\cdot AD&\leqslant \frac 12\cdot \frac 8{2\sqrt 5}=\frac {2\sqrt 5}5. \end{align*}

(

或者利用 $xy\leqslant \frac {x^2+y^2}2$

\begin{align*} S&=\frac 12a\cdot AD\\[1em] &=\frac 1{2\sqrt 5}\cdot \color{blue}{\sqrt {\frac 53}a\cdot \sqrt 3 AD}\\[1em] &\leqslant \frac 1{2\sqrt 5}\cdot \color{blue}{\frac {\frac 53a^2+3AD^2}2}\\[1em] &\leqslant \frac 1{2\sqrt 5}\cdot \color{blue}{\frac {8}2}\\[1em] &=\frac {2\sqrt 5}5. \end{align*}

)

两次取 “ $=$ ”时， $\frac {1/\sqrt 2}{\sqrt 2BD}=\frac 1{DC}$即 $BD=\frac 12DC$ ，且$\sqrt {\frac 53}a=\sqrt 3 AD$ 即 $AD=\frac {\sqrt 5}3a$，进一步知 $b^2=\frac 59a^2+\frac 49a^2=a^2$，$\tan C=\frac {\sqrt 5/3a}{2/3 a}=\frac {\sqrt 5}2.$



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法 2：

\begin{align*}  8&=a^2+b^2+2c^2\\[1em]  &=a^2+b^2+2(a^2+b^2-2ab\cos C)\\[1em] &=\color{blue}{3a^2+3b^2}-4ab\cos C\\[1em]  &\geqslant \color{blue}{6ab}-4ab\cos C\\[1em] &=\color{blue}{ab\sqrt{(20+16)(\sin^2C+\cos^2C)}}-4ab\cos C\\[1em] {}\xlongequal{\small\text{柯西不等式}}&\geqslant \color{blue}{2\sqrt 5ab\sin C+4\cos C}-4ab\cos C\\[1em] &= 2\sqrt 5ab\sin C\\[1em] \Rightarrow S&=\frac 12ab\sin C\leqslant \frac 12\cdot \frac 8{2\sqrt 5}=\frac {2\sqrt 5}5.\end{align*}

本质上也是柯西不等式破题，不过，这里两次等号同成立时，知 $a=b,$ 且 $\tan C=\frac {\sqrt 5}2$ 是一眼即知的.