数列难题

realnumber

杭州-王(4072*****)  22:17:29

1 数列满足 $a_{n+1}=2 a_n+\frac{1}{a_n}, \quad a_1=1$ ，求通项。
2 数列满足 $a_{n+1}=2 a_n+\frac{1}{a_n-4}+8 ,\quad a_1=1$ ，求通项。
3 若 $a_{n+1}=\frac{2 a_n}{a_n^2+1}, \quad a_1=1$ 求通项。
4 数列满足 $a_{n+1}=\frac{18 a_n}{9 a_n^2+2}, \quad a_1=1$，求通项。
5 数列满足 $a_{n+1}=\frac{-7 a_n^2+6 a_n-15}{a_n^2-10 a_n-7}$ 分别以 $a_1=1$ 和 2 求通项公式。
6 数列满足 $a_{n+1}=\frac{11 a_n^2-80 a_n+140}{2 a_n^2-14 a_n+23}, \quad a_1=1$，求通项公式。
7 数列满足 $a_{n+1}=\frac{-7 a_n^2+6 a_n-15}{a_n^2-10 a_n-7}$．

转自某数学群，表示基本不会

战巡

回复 1# realnumber

全都是同一个类型的，但我告诉你，这类东西不见得都能求出初等通项，有些会极端复杂
比如第一个，第二个，是没有初等通项的

第三题很无聊吧，带入发现$a_n=1$

第四题无简单通项

第五题带入$a_1=1$，显然$a_n=1$，若$a_1=2$，有
\[a_{n+1}-1=\frac{-7a_n^2+6a_n-15}{a_n^2-10a_n-7}-1=-\frac{8(a_n-1)^2}{a_n^2-10a_n-7}\]
\[a_{n+1}+3=\frac{-7a_n^2+6a_n-15}{a_n^2-10a_n-7}+3=-\frac{4(a_n+3)^2}{a_n^2-10a_n-7}\]
两式相除得到
\[\frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}+3}=2(\frac{a_n-1}{a_n+3})^2\]
令$ln(\frac{a_{n}-1}{a_{n}+3})=b_n$，就有
\[b_{n+1}=ln(2)+2b_n，且b_1=-ln(5)\]
中间过程懒得讲了，最后得到
\[a_n=\frac{3·2^{2^{n-1}}+2·5^{2^{n-1}}}{2·5^{2^{n-1}}-2^{2^{n-1}}}\]

第六题类似，令$b_n=ln(\frac{a_n-4}{a_n-5})$即可，有$b_{n+1}=ln(3)+2b_n$，结果我懒得算了

第七题参见第五题

isee

强大，分子与分母为2次的，基本全部自动跳过。

见5题解的巧，想问$-1,3$算不算是特征根？怎么得到这两数的？

爪机专用

回复 3# isee
不动点法啊，不过二次分式就得满足一定条件才能用上，所以不是万能。

realnumber

学习了2楼，
第3题，如果$a_1$不等于1，那么这样的通项符合递推公式
\[a_n=\frac{e^{2^n}-1}{e^{2^n}+1}\]

老歌

非常感谢各位老师已经做出来的结果。请问第四题没有初等解，有高等解吗？其实我问这些题目的初衷在于，一、这些题目是在不会，二、想和大家一起研究一下，此类常系数递推关系是否具有统一解法？想听听大家的意见。谢谢各位老师的求解。

其妙

回复 6# 老歌
2楼说的差不多了吧，只能做些特殊了类型的。

hbghlyj

老歌 发表于 2013-10-18 11:29
请问第四题没有初等解

$18x\over9x^2+2$有3个不动点$0,\pm\frac43$
$a_1=1$迭代收敛到$\frac43$

hbghlyj

令$a_n=\frac43+b_n$，递推式变为$$b_{n+1}=-\frac{2b_n (7+6 b_n)}{3 (6+8b_n+3 b_n^2)}$$
$-\frac{2x (7+6 x)}{3 (6+8x+3x^2)}$在$x=0$的级数$=-\frac79x+O(x^2)$
然后$b_1=-\frac13$，可以估计$b_n\approx (-\frac13)\left(-\frac79\right)^{n-1}$

hbghlyj

realnumber 发表于 2013-10-18 10:07
学习了2楼，
第3题，如果$a_1$不等于1，那么这样的通项符合递推公式
\[a_n=\frac{e^{2^n}-1}{e^{2^n}+1}\]

$a_{n+1}=\frac{2 a_n}{a_n^2+1}$
令$b_n=\arctanh a_n$得$b_{n+1}=2b_n$

hbghlyj

realnumber 发表于 2013-10-18 10:07
学习了2楼，
第3题，如果$a_1$不等于1，那么这样的通项符合递推公式
\[a_n=\frac{e^{2^n}-1}{e^{2^n}+1}\]

$2x/(1+x^2)$在$x=1$的级数$=1-\frac12(x-1)^2+O((x-1)^3)$     收敛半径为$\sqrt2$
$1-\frac12(x-1)^2$作迭代$n$次为$1-2\left(x-1\over2\right)^{2^n}$
由$a_0=\frac{e-1}{e+1}$得到\[a_n\approx1-2\left(\frac{e-1}{e+1}-1\over2\right)^{2^n}=1-\frac2{\left(e+1\right)^{2^n}}\]
$a_n=1-\frac2{e^{2^n}+1}$和上面的估计式的最高阶相同吧。