这算不算极值点偏移？

hongxian

已知函数 $f(x)=a-\dfrac{1}{x}- \ln x$  $a\inR$,若$f(x)$有两零点$x_1$,$x_2$
求证：$x_1+x_2<3e^{a-1}-1$

hongxian

zhuanlan.zhihu.com/p/25070401

kuing

回复 2# hongxian

研究了一下，发现了加强式：$x_1+x_2<e^a-e+2$  （注：易知 $a>1$，有 $e^a-e+2<3e^{a-1}-1$，所以此式强于原题）

这加强式用链接里的方法恐怕很难走下去，大家不妨试试看。

我的证明比较麻烦，时间关系，明天有空再写上来……

hongxian

回复 3# kuing


    $x_1+x_2<e^a+1$倒是有人证明过,不过你的看来更强

kuing

OK了，见附件：

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2017-3-25 17:21 Upload

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hongxian

回复 5# kuing


    以我的水平，只能感叹天上掉下个$h(x)$

kuing

原来之前在 forum.php?mod=viewthread&tid=3454 已经出现过，当时由于很厌这种题所以没看……
刚才再看了下，发现那里4楼帖的证明其实是错的，实际上 $x_1+x_2>2e^{a-1}$，标答的证明倒是有点意思……

力工

回复 7# kuing

厉害了word色k，持续不断地思考！

isee

好像近期的热点啊，mark下，先

kuing

回复 9# isee

漂移题这几年一直没停过吧……
只是现在的漂移花样多了，解题的套路也层出不穷，我才重新有兴趣撸了……

isee

hongxian 发表于 2017-3-24 06:18

    你写的？那个标16分的是标答？这TMD的要人命啊。7楼的链接中哪个分析才是正道啊。

    kuing的推广先无视咯，哈哈，先学习下原题。

amekui

OK了，见附件：

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kuing 发表于 2017-3-25 17:21

能否展示如何构造h(x)？使用未加强的不等式即可。

kuing

回复 12# amekui

太久了，只记得是用泰勒，对 (x+k)g(x) 在 x=1 处展开，再找合适的 k，后面具体咋搞记不清了，反正当时肯定少不了开挂辅助……

amekui

回复  amekui

太久了，只记得是用泰勒，对 (x+k)g(x) 在 x=1 处展开，再找合适的 k，后面具体咋搞记不清 ...
kuing 发表于 2021-10-31 00:43

1.为什么要考虑 $\left(x+k\right)g\left(x\right)$？
2.设 $\left(x+k\right)g\left(x\right)=A+B\left(x-1\right)+C\left(x-1\right)^2+o\left(\left(x-1\right)^2\right)$，那么 $A=\left(k+1\right)\mathrm{e}$，$B=\mathrm{e}$，$C=\dfrac{\mathrm{e}\left(k+1\right)}{2}$，如何确定 $k$ 的值？

kuing

回复 14# amekui

目的是将 g(x) 近似到一个分式函数 h(x)，分子分母次数不超过 2 且至少一个是 2，这样 h(x)=b 才能化成一个二次方程套韦达定理。
如果分子分母都二次那计算比较复杂，所以先尝试简单点分母一次分子二次，因此就考虑 (x+k)g(x) 的泰勒了。
至于 k，将 h(x)=(A+B(x-1)+C(x-1)^2)/(x+k)=b 展开后用韦达，得同时满足：
两根之和 <= 待证式；x<1 时 g(x)<h(x)，x>1 时 g(x)>h(x)。
于是尝试让 g(x)-h(x) 递增，然后……大概就是复杂的求导计算……