数列不等式题

力工

已知{${a_n}$}满足$a_n>0，a_1=2$，且$(n+1)a_{n+1}^2=na_n^2+a_n$.
证明：$\dfrac{a_2^2}{4}+\dfrac{a_3^2}{9}+\cdots +\dfrac{a_n^2}{n^2}<\dfrac{9}{5}$.

abababa

回复 1# 力工

先证明$a_k > \frac{k+\sqrt{k(k+1)}}{2k}$，用数学归纳法就能证明。然后证明$a_k$是递减的数列。
\[a_{k+1}^2=\frac{ka_k^2+a_k}{k+1}=\frac{k}{k+1}((a_k+\frac{1}{2k})^2-\frac{1}{4k^2})<\frac{k}{k+1}(a_k+\frac{1}{2k})^2\]
\[a_{k+1}<\sqrt{\frac{k}{k+1}}(a_k+\frac{1}{2k})<a_k\]
最后就用那个自然数平方的倒数和，就是$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<\frac{\pi^2}{6}$，计算就得到结果了，得从$a_3$开始算。
\[\frac{a_3^2}{9}+\cdots+\frac{a_n^2}{n^2}<a_3^2(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}-1-\frac{1}{4})<\frac{\sqrt{3}+6}{3}(\frac{\pi^2}{6}-\frac{5}{4})<\frac{9}{5}-\frac{a_2^2}{4}\]

力工

回复 2# abababa [/b]
谢谢！$a_n$的下界怎么找到的呢？请指点下。唉。又遇到 了伟大的欧拉了。要是有初等点的过程就好了。

力工

趁早再来请教一题，如果不用数学归纳法，大神请出手！
数列{$a_n$}满足$a_1=\dfrac{1}{3},a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{n^2}$，证明:$\dfrac{n}{2n+1}\leqslant a_n\leqslant \dfrac{2n-1}{2n+1}$.

abababa

回复 3# 力工

其实主楼这个题我是倒着想的，我先算了三个$a_k$，发现是递减的，就猜能不能全是递减的，这个递减性这时还没证明，先假设它递减，如果递减的话，看分母很像是自然数平方的倒数和，就看分子能不能统一，我先从$a_2$开始放缩的，发现不行，又换$a_3$，发现可以，现在就转到证明数列是递减的了。

然后就通过已知，把两边都变成一次的，配方后放缩掉$\frac{1}{4k^2}$，得到$a_{k+1}<\sqrt{\frac{k}{k+1}}(a_k+\frac{1}{2k})$，只要证明右边小于$a_k$就达到目的了。

最后就是什么情况下$\sqrt{\frac{k}{k+1}}(a_k+\frac{1}{2k})<a_k$，这是关于$a_k$的不等式，解出来就是$a_k>\frac{k+\sqrt{k(k+1)}}{2k}$，就看这个能不能成立，用数学归纳法一试是成立的，所以倒推回去就行了。

回复 4# 力工
要是数学归纳法能解，我觉得还是非常好用的方法。

zhcosin

这题可以大题小作，也可以小题大作，先来个大题小作吧，由数列归纳法易证$a_n>1$，所以
\[ a_{n+1}^2=\frac{na_n^2+a_n}{n+1} < \frac{na_n^2+a_n^2}{n+1} = a_n^2 \]
于是数列递减，所以当$n>1$时，$a_n < a_1=2$
\[ (n+1)a_{n+1}^2 = na_n^2+a_n < na_n^2+2\]
于是累加下去，就有
\[ na_n^2 < a_1^2+2(n-1)=2(n+1) \]
所以
\[ a_n^2 < 2(1+\frac{1}{n}) \]
于是
\[ \sum_{i=2}^n \frac{a_i^2}{i^2} <2(\sum_{i=2}^n \frac{1}{i^2}+\sum_{i=2}^n \frac{1}{i^3}) \]
借用放缩
\[ \frac{1}{i^2}<\frac{1}{(i-1)i}=\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i} \]
和
\[ \frac{1}{i^3}<\frac{1}{(i-1)i(i+1)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{(i-1)i}-\frac{1}{i(i+1)}) \]
从$i \geqslant 4$开始放缩，累加即得
\begin{align*}
\sum_{i=2}^n \frac{a_i^2}{i^2} & < 2(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n}+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+\frac{1}{2}(\frac{1}{12}-\frac{n}{n+1})) \\
& < 2(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+\frac{1}{24}) \\
& = 2(\frac{3}{4}+\frac{4}{27})<\frac{9}{5}
\end{align*}

zhcosin

而小题大作就是，不以要证的不等式为目标，研究下这个数列的性态，因为
\[ a_{n+1}^2=a_n \frac{na_n+1}{n+1} \]
显然$\frac{na_n+1}{n+1}$是$a_n$和1的加权平均，因为$a_n>1$有$\frac{na_n+1}{n+1}<a_n$，所以有
\begin{align*}
a_{n+1} &=\sqrt{a_n\cdot \frac{na_n+1}{n+1}} \\
& <\frac{1}{2}(a_n+\frac{na_n+1}{n+1})  \\
& = \frac{2n+1}{2n+2}a_n+\frac{1}{2n+2}
\end{align*}
另一方面，由$\frac{na_n+1}{n+1}<a_n$，所以
\[ a_{n+1}^2=a_n \cdot  \frac{na_n+1}{n+1} > (\frac{na_n+1}{n+1})^2 \]
所以
\[ a_{n+1}>\frac{n}{n+1}a_n+\frac{1}{n+1} \]
综合这两个估计，得到
\[ \frac{n}{n+1}a_n+\frac{1}{n+1} < a_{n+1} < \frac{2n+1}{2n+2}a_n+\frac{1}{2n+2} \]
左右都是$a_n$和1的加权平均，只是权重不同，上式改写为
\[ \frac{n}{n+1}(a_n-1) < a_{n+1}-1 < \frac{2n+1}{2n+2} (a_n-1) \]
所以最后就有估计式
\[ 1+\frac{1}{n} < a_n < 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \]
对于后面的双阶乘，由熟知的放缩
\begin{align*}
& (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{2n-1}{2n})^2 \\
= & (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) (\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}) \cdots (\frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-1}{2n}) \\
< &  (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}) (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}) \cdots (\frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n}{2n+1}) \\
= & \frac{1}{2n+1}
\end{align*}
所以$a_n$的估计式两端都以1为极限，由夹逼定理，$a_n$极限为1.

而仍由那估计式，可以得出
\[ a_n^2< (1+\frac{1}{2\sqrt{2n+1}})^2 <2+\frac{1}{4} \frac{1}{2n+1} < 2+\frac{1}{8n} \]
由这不等式，仍同上一楼的放缩，同样可证得题目中的不等式。

力工

@色k，看看这个题，给个醒
如果不用数学归纳法，kuing大神请出手！
数列{$a_n$}满足$a_1=\dfrac{1}{3},a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{n^2}$，证明:$\dfrac{n}{2n+1}\leqslant a_n\leqslant \dfrac{2n-1}{2n+1}$.

zhcosin

回复 8# 力工
不等式的左边就是个水母，数列显然是递增的，而$a_4=\frac{30760}{59049}=0.5209\cdots>\frac{1}{2}$，所以之后所有的项都超过$\frac{1}{2}$，而$\frac{n}{2n+1}<\frac{1}{2}$，不是水母是什么，但是右端暂时没什么思路，但是从程序显示的结果看，这个数列增加极其缓慢，$a_4$就已经超过0.57，而第十万项还没有超过0.61，所以我猜这数列有一个小于1的极限，而且这极限比1要小得多，也就是说，右端可能也是一个水母。

另外话说为什么不单独开帖子讨论这题呢，这题其实可以有点研究头，因为$a_n=n$是满足这递推式的，又从题目要证的结论来看，$a_1=\frac{1}{3}$时数列收敛，那问题就来了，这首项的取值是如何影响数列的收敛性的？换句话说，能否求出首项的取值范围，使数列收敛？

realnumber

浙江考纲在数列那里新加了数学归纳法，数学归纳法本身是很自然且有效的办法.

kuing

回复 9# zhcosin

收敛的问题可以看看这个帖：forum.php?mod=viewthread&tid=2554（之前在这里我也给过这个链接，但楼主似乎还不会用）