指数分布，伽马分布

opuikl_0

$T_1, T_2, ..., T_n$ 是服从指数分布的独立随机变量，有参数 $\lambda$. 证明：$$P(\sum _{ i=1 }^{ \infty  }{ { T }_{ i } <\infty } )=0,$$ 并解释它的含义.

提示：计算 $E[{ e }^{ -\sum _{ i=1 }^{ \infty  }{ { T }_{ i } }  }]$.

已经证明了指数随机变量的和服从伽马分布 (gamma distribution), 该如何进一步证明上面的关系式呢？

战巡

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没必要按提示做啊
随便选定一个数，比如就$\lambda>0$好了，令事件$A_i=\{T_i>\lambda\}$有
\[P(A_i)=P(T_i>\lambda)=\int_\lambda^{+\infty}\frac{1}{\lambda} e^{-\frac{x}{\lambda}}dx=\frac{1}{e}>0\]
于是有
\[\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{e}=+\infty\]
这里由于$T_i$全部独立，$A_i$事件也都是独立的，由Borel-Cantelli引理可知，有
\[P(\limsup_n A_n)=1\]
也就是说事件$A_n$发生的次数为无穷次的概率为$1$，即$T_i>\lambda$的次数为无穷次几乎必然发生，因此
\[P(\sum_{i=1}^{\infty}T_i=\infty)=1\]
\[P(\sum_{i=1}^{\infty}T_i<\infty)=0\]

战巡

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附：Borel-Cantelli引理：
令$\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$为一个事件序列
1、若
\[\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)<\infty\]
则
\[P(\limsup_n A_n)=0\]

2、若$A_n$全部为独立事件且
\[\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)=\infty\]
则
\[P(\limsup_n A_n)=1\]

注意这里面$\limsup_n A_n$也可写作$A_n i.o.$，i.o.为infinitly often，发生无穷多次

此引理的第一部分对其他测度也成立，不一定非要是概率测度

opuikl_0

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