如何求解任意一点到双曲线的最短距离？

走走看看

特殊点比较好求，但是如果点$P(2,2)$，双曲线是$x^2-y^2=1$，那么这个最短距离利用两点间距离公式不行，求导我也没解出来。

zhcosin

可以这么考虑，假定定点是$P(x_0,y_0)$，双曲线是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，以点$P$为圆心作圆，半径从0开始逐渐增大，直到这个圆与双曲线相切，这时就找到了最小距离，设这个切点为$Q$，那么双曲线在点$Q$处的法线必定通过点$P$，所以设$Q(x_1,y_1)$，则该点处法线方程是
\[ y-y_1=-\frac{a^2y_1}{b^2x_1}(x-x_1) \]
所以得方程
\[ y_0-y_1=-\frac{a^2y_1}{b^2x_1}(x_0-x_1)  \]
另外点$Q$又满足双曲线方程，所以得到一个关于$Q$坐标的方程组，解这个方程组就可以了，当然二元二次方程解起来还是要费点功夫的。

走走看看

正是这样做的，但解不出来。

首先对 x^2-y^2=1求导。
2x-2yy'=0
设切点是(x0,y0)
y'=x0/y0
然后，x0/y0* (y0-2)/(x0-2)=-1
x0^2-y0^2=1
联立后，还是解不出来。

abababa

回复 1# 走走看看

有标准答案吗？下面那个是网友算的，这么复杂！！
\[\left[\frac{1}{2}\left(\sqrt{4\sqrt{2}+5}+1\right)-2\right]\sqrt{\frac{1}{4}\left[-\sqrt{2}+\sqrt{4\sqrt{2}+5}-\sqrt{2\left(4\sqrt{2}+5\right)}+1\right]^2+1}\]
数值解是0.1764

我用软件化简了一下，得到下面的
\[\sqrt{\frac{23}{\sqrt{16\sqrt{2}+13}+6}-\frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{16\sqrt{2}+13}+6}}\]
但还是太复杂了。

走走看看

没有，是从网上看到的题目。

kuing

任意定点到二次曲线的最小距离本质上涉及四次方程（这句话我说过N遍……），所以一般来说是没得玩的，只有特殊点有得算。

是不是特殊点就取决于那四次方程有没有简单解，1楼的问题中，P(2,2) 仍然是特殊点，
因为经计算可知取最值时 y 满足的恰好是个“倒数方程”：$y^4-2y^3+y^2-2y+1=0$，这就有了简单解，所以也能算。

但如果再改，比如 P(2,3)，那就真的只能代四次方程求根公式了。

zhcosin

回复 6# kuing
看样子人类能玩的都是次数低的曲线，二次曲线就这屌样，三次四次曲线那是完全没得搞了，一碰到五次和五次以上方程，对不起，连求根公式都没有了...

游客

用双曲线XY=1考虑下就知道好不好求了。

kuing

回复 8# 游客

是的，旋转后曲线方程简单了，而且点也到了坐标轴上，计算应该会更简单些。
从这一点上也能看出1楼的题是有特殊性的。

abababa

原来旋转后能变简单，没想到这一点。不过不管怎样，对一个定点和给定的圆锥曲线，最小距离都是存在的吧。既然用到了导数，如果是一般的光滑曲线，最小值也应该是存在的吧。

kuing

回复 10# abababa

存在是肯定的，只是一般没有简单结果。

走走看看

谢谢大家！
顺便问一下，经常要画圆锥曲线，哪些工具用起来比较方便，输入方程自动作图？

kuing

回复 12# 走走看看

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