数列不等式

wzyl1860

数列 $\an$ 中，$a_1=\frac{1}{3}$，前 $n$ 项和为 $S_n$, $n^2 S_{n+1}=n^2\left(S_n+a_n\right)+a_n^2$
求证：$\frac{n}{2 n+1} \leq a_n<1$

kuing

将 $S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$ 代入得
\[a_{n+1}=a_n+\frac{a_n^2}{n^2},\]
又是这个递推……
看看下面这些链接有没有解决的
forum.php?mod=redirect&goto=findpost& … d=4542&pid=20857
forum.php?mod=viewthread&tid=4451
forum.php?mod=viewthread&tid=2554

facebooker

给定实数$\alpha>1,$设$a_1∈(0,1),$

\begin{align*}
a_{n+1}=a_n+\frac{a_n^{\alpha}}{n^\alpha},n=1,2,3\cdots

\end{align*}
求证：{$a_n$}有界

$\alpha=2$已经实属难办 现在又推广了。

kuing

`\alpha=2` 的证明：forum.php?mod=viewthread&tid=2554，看看能不能搞成一般的