一个与微分有关的题目！

青青子衿

\begin{align*}
& \tan \alpha=f'(x) \\
& \tan (\alpha+\Delta \alpha)=f'(x+\Delta x) \\
& \tan \Delta \alpha=\frac{\tan (\alpha+\Delta \alpha)-\tan \alpha}{1+\tan \alpha \tan (\alpha+\Delta \alpha)}=\frac{f'(x+\Delta x)-f'(x)}{1+f'(x) f'(x+\Delta x)} \\
& \Delta \alpha=\arctan \frac{f'(x+\Delta x)-f'(x)}{1+f'(x) f'(x+\Delta x)} \\
& \frac{\Delta \alpha}{\Delta x}=\frac{\arctan \frac{f'(x+\Delta x)-f'(x)}{1+f'(x) f'(x+\Delta x)}}{\Delta x} \tag1\\
&\tan \alpha=f'(x) \Rightarrow \alpha= \frac{\arctan f'(x)}{\Delta \alpha} \\
& \frac{\Delta x}{\Delta x}=\frac{f^{\prime \prime}(x)}{1+f'(x)^2}\tag2
\end{align*}
这两个答案是等价的吗？

kuing

回复 1# 青青子衿

第一条式对；
第二条式不对，应改为 $\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta\alpha}{\Delta x}=\cdots$，或者 $\dfrac{\rmd\alpha}{\rmd x}=\cdots$。

其妙

回复 2# kuing
最后一个明明就是在求导（微商），青青还来变化率干嘛？

kuing

第一条式取极限后亦为正确的第二条式。
\begin{align*}
&\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\arctan \frac{f'(x+\Delta x)-f'(x)}{1+f'(x)f'(x+\Delta x)}}{\Delta x} \\
={}&\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{1+f'(x)f'(x+\Delta x)}\cdot \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\arctan \frac{\Delta x\cdot f''(x+\theta \Delta x)}{1+f'(x)f'(x+\Delta x)}}{\frac{\Delta x}{1+f'(x)f'(x+\Delta x)}} \\
={}&\frac{f''(x)}{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}.
\end{align*}
当然前提是二阶可导。

icesheep

\[d\theta  = d\arctan \frac{{y'}}{{x'}} = \frac{{y''x' - x''y'}}{{x{'^2} + y{'^2}}}dt\]

令 x=t 就是楼主最后一行的东西

其妙

回复 5# icesheep
你来微分了