关于积不出的几个定理

hejoseph

这些定理是什么课程里面的内容？

abababa

回复 1# hejoseph

刘维尔的那几个定理肯定是微分代数里的内容，应该要用到域扩张等原理，曾经听网友说过，但是我根本听不懂，也没什么兴趣，就没再看。切比雪夫的那个不清楚。

hejoseph

谢谢，国内似乎从未见过这个课程，也没见有相关的书

其妙

既然$\int\dfrac{\sin x}x\rmd x$不是初等函数，那么能否求下面的积分的值：
\[\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin x}x\rmd x\]

色k

回复 4# 其妙

你又在明知故问……

hbghlyj

讲义:数学分析/一元微积分拾遗: Baire 纲定理, Liouville 定理
我们现在承认如下 Liouville 定理 (这是纯代数的结果, 请参见初等的介绍: M. Rosenlicht, Integration in finite terms, American Math. Monthly 79 (1972), 963–972) : 定理 28.7 (Liouville). 假设 $K$ 是一个初等函数域，$f\in K$，那么存在初等函数 $F$ 使得 $F'=f$ 当且仅当存在常数 $c_1,\cdots,c_m \in \mathbb{C}$，存在函数 $R_0, R_1,\cdots,R_m \in K$，使得
\[f=R_0'+\sum_{k=1}^m c_k \frac{R_k'}{R_k}.\]