一道关于可导与连续的关系的证明题

longma

设函数 $\varphi(x)$ 在 $x=2$ 处连续，$f(x)=\left(x^2-4\right) \varphi(x)$ ，证明函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 处可导。

kuing

这不是非常显然吗？因为
\[\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{(x^2-4)\varphi (x)}{x-2}=(x+2)\varphi (x),\]
由连续性知 $\lim_{x\to2}\varphi (x)\to\varphi (2)$，所以
\[\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=4\varphi (2),\]
即 $f'(2)$ 存在且等于 $4\varphi(2)$。