$\sum_{n=1}^{\infty}\cdots=0$对任意x都成立，能推出$f(n)=0$吗？

abababa

如题，$\sum_{n=1}^{\infty}x^{2n+1}f(n)=0$对任意x都成立，能推出$f(n)=0$吗？

Infinity

必然是的，因为$x^{2n+1}$构成的是线性独立的基. 令$X=(f(1),f(2),\cdots,f(n),\cdots)^T$，$x$ 取任意非零值，都有线性方程\[AX=0\]显然$\det A\neq 0$，那么齐次方程只有唯一零解$X=0$.

abababa

回复 2# Infinity
谢谢。这个有限维的我能理解，但无穷维的我还理解不了。

Infinity

回复 3# abababa

无穷维的这种函数空间属于数学中的泛函分析领域，你可以看看相关教材。另外，如果你能理解广义傅里叶变换，这个也就不难理解。