一道关于外心和内心的题目

zhcosin

题目 若$\triangle ABC$中成立$b+c=2a$，求证$OI \perp AI$，其中$O$和$I$分别表外心和内心。

证明一 (魏子豪)

  设角平分线$AI$交$BC$边于$E$，交外接圆于另一点$D$，则易证$AI=2IE$，又$DC:DE=BA:BE=2:1$以及$DC=DI$知$IE=ED$，于是$I$为$AD$中点，于是由垂径定理，$AI \perp AD$.

证明二 (zhcosin)  只需证明$AO^2=OI^2+AI^2$，记外接圆半径和内切圆半径分别为$R$和$r$，由几何关系及欧拉公式有
  \[ AO=R, \  OI^2=R^2-2Rr, \  AI=\frac{r}{\sin{\frac{A}{2}}} \]
  以上三式代入勾股式后知只需证
  \[ \frac{r}{R}=2\sin^2{\frac{A}{2}} \]
  而
  \[ R=\frac{a}{2\sin{A}} \]
  和
  \[ r=\frac{1}{2}(b+c-a)\tan{\frac{A}{2}}=\frac{1}{2}a\tan{\frac{A}{2}} \]
  由此二式便知要证的等式成立。

isee

回复 1# zhcosin


    楼主“知识”储备优，这不是最厉害的，最强能“用好”

zhcosin

回复 2# isee
虽然是马屁，不过闻着挺香。。。

abababa

如果设重心为$G$，则$GI \sslash BC$的条件也是$b+c=2a$。

isee

回复 4# abababa


    这么特殊的三角形。。。。。

abababa

回复 5# isee

本论坛就有这题，刚才找了没找到。我记得还是网友证明的，我发上来的。

isee

这题不对劲啊，等边三角形就把结论打发了。。。

isee

回复 6# abababa


    forum.php?mod=viewthread&tid=3561  就是这个。

abababa

回复 8# isee

谢谢，就是这帖！

abababa

回复 7# isee

这题是对的，等边三角形$OI$就是一点，也可以看成垂直$AI$，用网友的方法验证了一下，就是用软件算下面这些：

1. w=(a^2+b^2+c^2)/2;p={w-a^2,w-b^2,w-c^2};
2. pI={a,b,c};pO={a^2p[[1]],b^2p[[2]],c^2p[[3]]};pA={1,0,0};
3. OI=Cross[{1,1,1},Cross[pI,pO]];AI=Cross[{1,1,1},Cross[pI,pA]];
4. FullSimplify[Sum[p[[i]]*OI[[i]]*AI[[i]],{i,1,3}]]

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得到的输出结果是：
$-\frac{1}{4} b c (-a+b-c) (a+b-c) (-2 a+b+c) (-a+b+c) (a+b+c)^2$，要垂直必须这式等于$0$，可见只能是中间那个$-2a+b+c=0$，其它几个为$0$时都不满足两边和大于第三边或者边长是正数。

isee

回复 10# abababa


   线都变成点了，还扯个蛋，-----加个非等边三角形吧。。。。

abababa

回复 11# isee

我觉得只是补充定义一下在这种情况下垂直的意义，就像有时可以用“点圆”这种，半径是零。

hbghlyj

题目 若 $\triangle ABC$ 中成立 $b+c=2a$，求证 $OI \perp AI$，其中 $O$ 和 $I$ 分别表外心和内心。

证明一 (魏子豪)

设角平分线 $AI$ 交 $BC$ 边于 $E$，交外接圆于另一点 $D$，则易证 $AI=2IE$，又 $DC:DE=BA:BE=2:1$ 以及 $DC=DI$ 知 $IE=ED$，于是 $I$ 为 $AD$ 中点，于是由垂径定理，$AI \perp AD$.
zhcosin 发表于 2017-6-29 08:51

我来配一个图