已知$a^2+b^2=25$求$ab+5a+2b$的最大值

hongxian

已知：$a^2+b^2=25$
求$ab+5a+2b$的最大值

kuing

令 $a=5\cos x$, $b=5\sin x$，则
\[ab+5a+2b=25\left(\cos x+\frac25\right)(\sin x+1)-10,\]
然后由 forum.php?mod=viewthread&tid=76 的 6楼 的最后，即可知最大值为 $38$。

isee

回复 1# hongxian

这个分类 函数 更佳，二元函数的极值，可硬解，得四次方程，不过，有仅且有一个正数根$a=4$.

PS:楼上对这个研究太透了。。。。。

其妙

已知$9a^2+8ab+7b^2\leqslant6$，求$7a+5b+12ab$的最大值.

kuing

已知$9a^2+8ab+7b^2\leqslant6$，求$7a+5b+12ab$的最大值.
其妙 发表于 2017-8-6 13:54

尽管我不清楚你这题是怎么编的，但我清楚这无非也是四次方程里找的特殊数据，类似于2楼链接里那样。

既然是特殊数据，我就不客气了，用暴力方法硬来，找到特殊点，再改写成“装逼SOS”即可。

（以下步骤不要贴出来）
令 $f = 7 a + 5 b + 12 a b - k (9 a^2 + 8 a b + 7 b^2)$，解方程组 $\partial f/\partial a=\partial f/\partial b=0$ 得 $a=-\frac{-30-29 k}{2 (-36+48 k+47 k^2)}$, $b=-\frac{-42-17 k}{2 (-36+48 k+47 k^2)}$，代入 $9 a^2 + 8 a b + 7 b^2 = 6$ 中得到 $6 (-1+k) (-24+5077 k+6721 k^2+2209 k^3)=0$，将 $k=1$ 代回去得 $a=b=1/2$，这样特殊点就找到了。
这时令 $a=1/2+t$, $b=1/2+u$ 之后式子就会简洁些，不信你看：$7 a + 5 b + 12 a b - (9 a^2 + 8 a b + 7 b^2)=3 - 9 t^2 + 4 t u - 7 u^2=3-7t^2-2(t-u)^2-5u^2$，反代回 $a$, $b$，“装逼SOS”即出炉。

最终，真正贴出来的过程就是：
\[
7 a + 5 b + 12 a b=9 a^2 + 8 a b + 7 b^2+3-7\left(a-\frac12\right)^2-2(a-b)^2-5\left(b-\frac12\right)^2\leqslant 9,
\]
当 $a=b=1/2$ 取等。

是不是很无聊

v6mm131

回复 5# kuing

kk这是在解密装逼技巧啊！

v6mm131

回复 4# 其妙
also see:

    Suppose that $a,b,c$ are positive real numbers such that $24ab+44bc+33ca\le1$. Find the minimum value of $P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.

kuing

回复 7# v6mm131

参考《撸题集》第 1021 页 FAQ 25.