若$a_{n+1}+(-1)^na_n=2n-1$，求$S_{60}$

isee

若$a_{n+1}+(-1)^na_n=2n-1$，求$S_{60}$的值。


2012年全国卷理科数学，新课标的第16题，这种正负调节的题型接触较少。
关键，说起来特别的费劲，如果学生弱一点就完全不知到在说什么了



kuing曾经的解法是


由
\[ a_{n+1} + (-1)^n a_n = 2n-1, \]
得
\begin{align*}
a_{n+2} &= (-1)^n a_{n+1}+2n+1 \\
&= (-1)^n \bigl((-1)^{n-1}a_n+2n-1\bigr)+2n+1 \\
&= -a_n+(-1)^n(2n-1)+2n+1,
\end{align*}
即
\[ a_{n+2}+a_n = (-1)^n(2n-1)+2n+1, \]
也有
\[ a_{n+3}+a_{n+1} = -(-1)^n(2n+1)+2n+3, \]
两式相加得到
\[ a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3} = -2(-1)^n+4n+4, \]
设 $k$ 为整数，则
\[ a_{4k+1}+a_{4k+2}+a_{4k+3}+a_{4k+4} = -2(-1)^{4k+1}+4(4k+1)+4 = 16k+10, \]
于是 $a_n$ 的前60项和便是
\[ S_{60} = \sum_{k=0}^{14}(a_{4k+1}+a_{4k+2}+a_{4k+3}+a_{4k+4}) = \sum_{k=0}^{14}(16k+10) = 1830. \]



很有一般性。



估计此题也被研究透了，拿来与大家学习交流一下。

个人的解法很笨，大约如下

乌贼

bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&t … ine&orderby=dateline

isee

主楼所说的笨方法为

题目：若$a_{n+1}+(-1)^na_n=2n-1$，求$S_{60}$的值。

解答：

令$n=2k,k>0,k \in N$有
\begin{align*}
  a_{2k+1}+a_{2k}&=4k-1 \tag{1}\label{eq10}\\
  a_2+a_3+\cdots+a_{60}+a_{61}&=\sum _{k=1}^{30}(a_{2k+1}+a_{2n})\\
  &=4\cdot \sum _{k=1}^{30}k-1\times 30\\
  &=4\cdot \sum _{k=1}^{30}k-30\\
  &=1830
\end{align*}
另一方面，令$n=2k-1,k>0,k \in N$有
\begin{align*}
  a_{2k}-a_{2k-1}&=4k-3 \tag{2}\label{eq11}
\end{align*}
而$\eqref{eq10}-\eqref{eq11}$有
\begin{align*}
  a_{2k+1}+a_{2k-1}&=2 \\
  \Longrightarrow a_{2k+3}&=a_{2k-1}
\end{align*}
于是$a_1=a_5=a_9=\cdots=a_{61}$，故$1830=a_2+a_3+\cdots+a_{60}+a_{61}=a_2+a_3+\cdots+a_{60}+a_1=S_{60}$。

isee

回复 3# 其妙

这种拆项太生硬了，当然，熟到一定的境界就是这样~

realnumber

数列{$a_n$}满足$a_{n+1}+(-1)^na_n=2n-1$,则此数列的前60项和为
A.3690 B.3660  C.1845  D.1830

游客

3式3式地写，4项4项地求，，，，，

kuing

高考题呀，当年我还处于年年撸高考题的时候，这题自然也选上了，见《撸题集》第 378 页题目 4.2.9。

realnumber

恩，学生自己做出来了，把a1当作常数，发现$S_4,s_8,s_12$依次都可以解，且与a1无关，进而$S_{60}$也这样解决了

敬畏数学

回复 4# realnumber
嗯，没有什么技术含量的。不用讨论。

敬畏数学

回复 5# 敬畏数学
猜对的可能性很大。哈哈。

敬畏数学

这是一道非常有意义的问题。多种想法。也不一定用高深的数学知识。