求$\frac{a+b+c}{(4a^2+2b^2+1)(4c^2+3)}$的最大值

v6mm131

已知$a,b,c>0$,求$\dfrac{a+b+c}{(4a^2+2b^2+1)(4c^2+3)}$的最大值.

v6mm131

回复 1# v6mm131


   这个题太水了

kuing

回复 2# v6mm131

嫌水就加强、推广、改编它呗

kuing

来一个装逼型SOS
\begin{align*}
&3 (4 a^2 + 2 b^2 + 1) (4 c^2 + 3) - 16 (a + b + c)\\
={}&2 (4 c^2 + 3) (2 a - b)^2 + 4 (a + b + c - 1)^2 + (4 b c + 4 c a - 1)^2 + 2 (2 a + 2 b - 1)^2 + 2 (2 c - 1)^2
\end{align*}

v6mm131

回复 4# kuing
666

其妙

回复 4# kuing
这个B装的太牛了！
\begin{aligned}
\text { 由 }\left(4 a^2+2 b^2+1\right)\left(1+2+4 c^2\right) & =\left(4 a^2+2 b^2+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+4 c^2+2\right) \\
& \geq\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} a+\frac{2 \sqrt{3}}{3} b+\frac{2 \sqrt{3}}{3} c+\frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)^2 \\
& =\frac{4}{3}[(a+b+c)+1]^2 \geq \frac{16}{3}(a+b+c) \\
\text { 故有 } \frac{a+b+c}{\left(4 a^2+2 b^2+1\right)\left(1+2+4 c^2\right)} \leq & \frac{3}{16}
\end{aligned}

v6mm131

回复 6# 其妙
nice!

v6mm131

回复 4# kuing

also see:

   已知$a,b,c>0$,求$\dfrac{(a+b+c)^2}{(4a^2+2b^2+1)(4c^2+3)}$的最大值.

kuing

回复 8# v6mm131

不是吧，这不是更水了？CS一步到位了啊

v6mm131

回复 9# kuing

这个比上面那个确实水多了
\[(4a^2+2b^2+1)(1+2+4c^2)\ge4(a+b+c)^2\]