交错级数如果收敛，部分和的界是不是前两项？

abababa

例如$\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k^2}$，还有$\ln2$的展开那个$\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}$

其妙

我看见这里有几个交错级数的收敛值，你不妨可以看一看（接近文末了）：mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIxMDYxMDMxOQ==& … fd42399662c126e52#rd

abababa

回复 2# 其妙
已知的几个求和都会求，我是想知道对于收敛的交错级数$\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^kf(k)$，它的部分和$S_n=\sum_{k=1}^{n}(-1)^kf(k)$的界是不是$S_1<S_n<S_2$或者$S_2<S_n<S_1$。对我举的两个例子都是这样的，因为这两个$f(k)$都是减函数。有没有一些反例。

zhcosin

显然不是啊，比如可以拿级数
\[ \ln{2}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots \]
来进行调整，把前两项的绝对值分别变为$a$和$b$，其中$a>b>0$，即变成级数
\[ a-b+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots \]
显然现在的级数收敛到
\[ S'=\ln{2}-\frac{1}{2}+(a-b) \]
你的意思就是，确定是否一定有
\[ b<S'<a \]
即
\[ b<\ln{2}-\frac{1}{2}+(a-b)<a \]
这就要求
\[ b>\ln{2}-\frac{1}{2}, \  a>2b-(\ln{2}-\frac{1}{2}) \]
两个条件同时成立，那我只要取$b<\ln{2}-\frac{1}{2}$和$a=\ln{2}-\frac{1}{2}$便违反它了。

abababa

回复 4# zhcosin
这里的前两项，指的是部分和数列的前两项，即$S_1,S_2$，不是原级数的前两项，在3楼里已经说明了。

这时$S'>a-b=S_2$还是成立的，但令$b=1$就能让$S_1=a<S'$。看来还得是$f(k)$单调的才行，有一定规律，不能随意定义几个点的值。