求证$\sum \frac 1{2^k-1}<\frac 53$

isee

即，求证：$$\frac 1{2-1}+\frac 1{2^2-1}+\cdots+\frac 1{2^n-1}<\frac 53.$$



PS: 应该是faq，kuing暂且缓三天，再帖出链接吧

v6mm131

回复 1# isee

很松啊 放一下就到位了,注意到：$k\ge2$时
\[\frac{1}{2^k-1}\le \frac{2}{3}\frac{1}{2^{k-1}}\]

isee

回复  isee

很松啊 放一下就到位了,注意到：$k\ge2$时
\[\frac{1}{2^k-1}\le \frac{2}{3}\frac{1} ...
v6mm131 发表于 2017-8-30 16:18

这个厉害，简直就是标答一般。

这个放缩是如何得到的？

v6mm131

回复 3# isee

纯属巧合吧，我觉得可以这么考虑
$k>2,2^k-1=1+2+\cdots+2^{k-1}$，可以尝试保留最后两项$2^{k-1},2^{k-2}$，试一试能否达到精度要求，试一试运气还可以。当然这个方法不能包打所有。

力工

回复 3# isee
设an＝(a1*（1-q^n）)/(1-q),然后去掉q^n因为可以看作这个数列的极限就是5/3, a1/(1-q)=5/3,观察前面的式子，可令q＝1/2这里的q可以不一样（但是为了后面的分析法容易证明）解得a1=5/6；0x2 现在an＝5/3*（1-1/2^n)，利用分析法比较1/（2^n-1）<5/3*（1-1/2^n)（选取1/2也是因为这里比较容易证明）这时你就会发现第一项不满足（1>5/6）但从第二项开始，后面的每一项都小于，所以我们第一项单独提出来说明（1<5/3利用原式子），因为从第二项开始都小于，所以每一项相加也同样小于。综上该不等式成立。

色k

按这帖 forum.php?mod=redirect&goto=findpost& … d=4823&pid=22620  13楼的分析，v6的放缩就是取 $m=2$ 的情形，这时 $p=f(2)=1/3$, $q=1-\frac{f(2)}{5/3-f(1)}=1/2$，所以放缩就是 $f(k)\le 1/3\cdot 1/2^{k-2}$。

至于楼上的，粗略看了下，感觉很有问题。

敬畏数学

回复 6# 色k

isee

回复  isee
设an＝(a1*（1-q^n）)/(1-q),然后去掉q^n因为可以看作这个数列的极限就是5/3, a1/(1-q)=5/3,观 ...
力工 发表于 2017-8-31 20:23

这个思路是好的，与kuing的方法一致，不过，似乎要牵扯到了“数学归纳法”证明思路，但这里有问题。

可把原和式第一项剔出，从第二项构造。

isee

综合一下 v6mm131 与 kuing 的放缩，也结合个人心得把这个题的过程完整写一下。


$$2^n-1>2^n-2^{n-2},n\geqslant 2\Rightarrow\frac 1{2^n-1}\leqslant \frac 1{2^n-2^{n-2}}=\frac 13\cdot\frac 1{2^{n-2}}.$$于是：
\begin{align*}
S_n=1+\frac 13+\frac 17+\frac 1{15}\cdots+\frac 1{2^n-1}&\leqslant 1+\frac 13+\frac 16+\frac 1{12}+\cdots+\frac 13\cdot\frac 1{2^{n-2}}\\
&<1+\frac {1/3}{1-1/2}\\
&=\frac 53
\end{align*}

PS:从常数1($2^n-1$)中的1，放缩。