关于$\sum \frac 1{2^n-1}$的和具体值

isee

查了下华东师大第三版，下册，第8页，其例2：$\sum \frac 1{2^n-n}$ 是收敛的。那么，$\sum \frac 1{2^n-1}$肯定也是收敛的。

那么$$\sum \frac 1{2^n-1}=\frac 1{2-1}+\frac 1{2^2-1}+\cdots+\frac 1{2^n-1}$$能求出具体值么？



PS:基本全忘记了，上面表述可能久准确。

kuing

求不出的
准确说，是没有初等表达式

isee

回复 2# kuing


    原来如此，难怪高三中大里这样不等式，，，，，

zhcosin

微积分教材的级数理论基本都是在讲收敛与发散的判断，之所以没有怎么讲求和，是因为只有极少数的级数的和能够用初等表达式写出来，几乎所有的级数的和都是没有初等表达式的，事实上，级数的和正是许多新数的来源，比如黎曼函数，欧拉常数c等。

isee

微积分教材的级数理论基本都是在讲收敛与发散的判断，之所以没有怎么讲求和，是因为只有极少数的级数的和能 ...
zhcosin 发表于 2017-8-31 14:02

也就是：说起来话就长了

感谢指点，涨知识了。

isee

约翰$\cdot$伯努利

$$1-\frac 1{2^2}+\frac 1{3^3}-\frac 1{4^4}+\frac 1{5^5}-\cdots+\frac {(-1)^{k+1}}{k^k}+\cdots=\int_0^1x^x\mathrm dx \approx0.7834305107.$$

isee

雅各布$\cdot$伯努力

$$\sum_{k=1}^\infty\frac {k^3}{2^k}=\frac {1^3}{2^1}+\frac {2^3}{2^2}+\frac {3^3}{2^3}+\frac {4^3}{2^4}+\frac {5^3}{2^5}+\cdots=26.$$

如何证明还未细想。。。

abababa

回复 6# isee

这个不对吧？左边那个级数应该是$\frac{\pi}{12}$，很好算，而$\int_{0}^{1}x^xdx$应该是$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^k}$
回复 7# isee
这个用递推就能行，分别算$\frac{1}{2^k},\frac{k}{2^k},\frac{k^2}{2^k}$这些，最后推出所要的结果。

kuing

雅各布$\cdot$伯努力

$$\sum_{k=1}^\infty\frac {k^3}{2^k}=\frac {1^3}{2^1}+\frac {2^3}{2^2}+\frac {3^ ...
isee 发表于 2017-9-7 16:32

可以看看 blog.sina.com.cn/s/blog_7ac9421701016yc2.html

hejoseph

最后那个和的部分和属于常系数递归数列的求和，有一般方法的

isee

回复 8# abababa

6楼的分母已改，纯是手打惯性错误。。。。另外原分母均是方时，和是$\pi^2/12$，分子有方。。。。

另一个，指数有负号，$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^k}=\int_{0}^{1}x^{-x}\mathrm dx$。

isee

回复 9# kuing


回复 10# hejoseph

多谢，知识方向就好查资料了。。。

战巡

回复 9# kuing

那个已经是过时技术了....................
新版是这样的

令
\[f(x)=\sum_{k=0}^ne^{kx}=\frac{e^{(n+1)x}-1}{e^x-1}\]
然后当$m$为自然数，且$q>0，q\ne 1$时，有
\[\sum_{k=0}^nk^mq^k=f^{(m)}(\ln(q))\]
当$q=1$时取$x\to 0$的极限即可

kuing

回复 13# 战巡

Soga，又用 e^x ，让我想起了之前的这个……

战巡

回复 6# isee


首先泰勒展开可以得到
\[x^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(\ln(x)x)^k\]
而令$\ln(x)=-y$就有
\[\int_0^1\frac{1}{k!}(\ln(x)x)^kdx=\int_0^{\infty}\frac{1}{k!}(-ye^{-y})^ke^{-y}dy=\frac{(-1)^k}{k!}\int_0^{\infty}y^ke^{-(k+1)y}dy\]
\[=\frac{(-1)^k}{k!}·\frac{k!}{(k+1)^{k+1}}=\frac{(-1)^k}{(k+1)^{k+1}}\]
剩下就显然了

isee

回复 13# 战巡

这个解决很“完全”，不过，仅就7楼而言，这个分式的三阶导数，笔算有些复杂。

Infinity

回复 1# isee

具体值是1.606695152415291...

isee

回复 17# Infinity


    thx！手工还是程序？

tommywong

方幂和及其推广和式
$p(k)=k^3,q=\frac{1}{2}$
$\Delta p(k)=3k^2+3k+1$
$\Delta^2 p(k)=3(2k+1)+3=6k+6$
$\Delta^3 p(k)=6$
$\displaystyle f(n)=\frac{n^3}{q-1}-\frac{3n^2+3n+1}{(q-1)^2}+\frac{6n+6}{(q-1)^3}q-\frac{6}{(q-1)^4}q^2$
$\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{2^k}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{2^{k-1}}=-\frac{1}{2}f(0)=\frac{1}{2}(\frac{1}{(q-1)^2}-\frac{6}{(q-1)^3}q+\frac{6}{(q-1)^4}q^2)=26$

Infinity

回复 18# isee

因为没有解析表达，当然是用程序。