递推式$a_{n+1}=\abs{a_n}-a_{n-1}$，证其周期为$9$

isee

回复 20# kuing


    你是深思之后的感悟，及感怀！

zhcosin

回复 8# 其妙
证明 上反证法吧，假定数列中至多只有有限项为零，那么弃去数列中前面若干项后，必然得到一个所有项都非零的数列，并且具有相同的递推式，仍用$a_n$表示这个新数列，则$a_1 \neq a_2$，否则$a_3$便等于0，这时显然有$a_{n+1} \leqslant \max\{a_n,a_{n-1}\}-1$，然而$a_1$和$a_2$都是固定的正整除，不可能无限多次减一后还能保持正号，所以假定原数列只有有限项为零的假设不成立，即必须有无穷多项为零。