两个高次方程

guanmo1

两个高次方程：
（1）$x^4-2 x^2-8 x-3=0$ ；
（2）$x^4+2 x^3-3 x^2-4 x+3=0$ ．

zhcosin

四次方程有一般性的解法的，试算了一下，两个方程都没有有理根，只好先用软件探探路:

既然如此，那就有如此的分解式
\[ x^4-2x^2-8x-3=\left((x-1)^2-2\right)\left((x+1)^2+2\right) \]
和
\[ x^4+2x^3-3x^2-4x+3=\left((x+\frac{1}{2})^2-\frac{13}{4}\right)\left((x+\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4}\right) \]
这个弊作的怎么样？

游客

随便弄两二次函数相乘就有四次方程了，这个出题很容易的。
求解的基本思路就是先消3次再配方，
相当于解二次方程时是先配方再平方差一样，
当然直接用公式就不说了，
因为上面的方法就是推导公式的过程。

guanmo1

回复 3# 游客


    消去三次方有一般性的方法吗？

isee

回复 4# guanmo1


    关键词 卡当公式 或 一元三次方程的解法

游客

回复 4# guanmo1


   
这个论坛“两道解方程的题”那有个文件。
三次方程解法普及.doc (83.5 KB)
forum.php?mod=viewthread&tid=4896&extra=page=2

isee

回复 2# zhcosin


    这个显示好像不是Mathematica....是啥？

zhcosin

回复 7# isee
Maxima+TeXmacs，也就是 TeXmacs 作为前端，调用 Maxima 进行后台计算并自动将其输出进行排版。

isee

回复 8# zhcosin


    哦，是你推荐那个TeXmacs呀，算是LateX宏包之类喽。。。

isee

擦，楼主用的是图片，不是文本文字。。。。。我还想复制，偷个懒，，，，，

zhcosin

回复 9# isee
不是，是一个独立的排版软件。

guanmo1

回复 6# 游客
谢谢！学习了。

isee

回复 6# 游客

by  游客

1、普及三次方程解法：${x^3} + a{x^2} + bx + c = 0$。
①任意三次方程都可以通过平移变换消去二次项：
${x^3} + a{x^2} + bx + c = {(x + u)^3} + (a - 3u){x^2} + (b - 3{u^2})x + (c - {u^3})$，
令$a - 3u = 0$，$x + u = y$，则：${y^3} + (b - 3{u^2})y + 2{u^3} - bu + c = 0$，
即转化为${y^3} + my + n = 0$的形式。
②方程${x^3} + mx + n = 0$的实根个数的判断：
显然，曲线$y = {x^3}$与直线$y =  - mx - n$至少有一个公共点，最多有三个公共点。
当$m \ge 0$时，公共点只有一个；当$m < 0$时，只要考察曲线$y = {x^3}$的斜率为$ - m$的两条切线与直线$y =  - mx - n$的位置关系即可。
③方程${x^3} + mx + n = 0$的求根公式推导：（通过换元转化为二次）
令$x = u + v$，则：$({u^3} + 3{u^2}v + 3u{v^2} + {v^3}) + m(u + v) + n = 0$，
即：$({u^3} + {v^3}) + (m + 3uv)(u + v) + n = 0$。
令$m + 3uv = 0$，则上述方程就只剩两项了，可以转化成二次方程直接求解。

说明：将三次转化为二次的大胆猜想和二项式定理的运用，在这里起了关键作用。

2、四次方程解法普及：依然运用二项式定理和转化为二次方程来处理。
①运用二项式定理和平移变换，将四次方程转化为不含三次项的形式：
${x^4} + a{x^2} + bx + c = 0$。
②令${x^4} + a{x^2} + bx + c = {({x^2} + m)^2} + n{(x + t)^2}$，则：
$2m + n = a$，$2nt = b$，${m^2} + n{t^2} = c$。
即：${m^2} + \frac{{{b^2}}}{{4(a - 2m)}} = c$，$n = a - 2m$，$t = \frac{b}{{2n}}$。
这样就转化成为关于$m$的一个3次方程了。
③若$n < 0$，则${({x^2} + m)^2} + n{(x + t)^2}$为一个平方差形式；
若$n > 0$，则${({x^2} + m)^2} + n{(x + t)^2}$为一个平方和形式；
无论要求实数根还是复数根，都不困难了。


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Word 中的 MathType 公式批量转 LaTeX 代码 by kuing

isee

补充

一元四次以上的实系数方程，无求根公式。