请教一道初中平面几何

wzyl1860

$\triangle A B C$ 为任意三角形，分别以 $A B$、$A C$ 为边作正方形 $A B D E$、$A C F G$, $H、 I$ 为 $D E$、$F G$ 中点，连接 $H I$，取 $H I$ 中点 $J$, $A B$ 中点 $K$，连接 $J K$，求 $\frac{J K}{B C}$ 的值

kuing

初中解法还是等 isee、乌贼、游客 等来写吧，我来写个复数的……

取 $AC$ 中点 $L$，取 $KL$ 中点 $N$，如图，以 $z(AB)$ 表示 $\vv{AB}$ 所对应的复数，则有
\[2z(NJ)=z(KH)+z(LI)
=z(BA)\cdot i+z(AC)\cdot i
=z(BC)\cdot i
=2z(KL)\cdot i,\]
即 $NJ$ 与 $KL$ 垂直且相等，从而易知 $JK/BC=\sqrt5/4$。

isee

回复 2# kuing


    我想出的平几就是把你的复数证明改成平几而已。

    这题是向量（含复数）的典范。


    事实上，楼主的题，实际就是这题的特殊情况。
    的确是初中百变难题。

kuing

回复 3# isee

有道理

isee

回复 4# kuing

似乎一般情况下，本楼的那复数证明也可以用，如果这样，就得到一种比较简单的向量证明。
不过，有点喝多了，晕晕乎，不清醒，先不看题了。

晚安

isee

的确可以，好方法，一般情况下，已经写成向量。

isee

回复 1# wzyl1860

楼上的复数证明实际是旋转+相似，或者参考(链接)一般情况下的3楼的另一种辅助线，以及9楼的轴对称法（都适应此题），即三种解法了。


当然，也可以这样做辅助线(第四种方法)，点$M$，点$N$分别是$HA$，$IA$的中点。

第一步：证图中两阴影三角形全等。用$SAS$。
第二步：证$\triangle JKL\sim \triangle HBA$，需证这两等腰三角形的顶角相等。
第三步：$2\dfrac {JK}{BC}=\dfrac {JK}{KL}=\dfrac {HB}{BA}=\dfrac{\sqrt 5}2$.

当然，这个方向也没有“摆脱一般情况”，也许标答有更巧解的一步到位解法。

游客

用向量思考下，中点条件考虑中线或中位线：
$\vv{KJ}=\vv{BH}+\vv{AI},\vv{BC}=\vv{BA}+\vv{AC}, \triangle HBA \backsim \triangle IAC$．
$\Rightarrow\vv{BC}$ 可以看作 $\vv{KJ}$ 经过顺旋转 $\angle H B A$ 再伸缩得到．
$\Rightarrow \frac{KJ}{BC}=\frac{BH}{BA}=\frac{AI}{AC}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．
然后再考虑用纯几何方法，应该有启发作用。

游客

乌贼

回复 7# isee

可以简化，$ N $为$ CA $与$ JM $的交点。\[ \angle MNA=\angle IAC=\angle MKA \]
点$ M、N、K、A $四点共圆有\[ \begin{align*}\angle KMJ&=\angle BAC,\dfrac{KM}{CA}=\dfrac{MJ}{AC}\\\triangle KMJ&\sim \triangle BAC \end{align*} \]

isee

回复 10# 乌贼

看到个相似形就明白了，果然有简解，

不过，我看的是7楼的中三角形KMJ与三角形KAL相似，

再细想下，就是8楼的指向。