数列不等式

caesarxiu

数列$\{a_n\}$满足:$a_1=\dfrac{1}{2},a_{n+1}=\dfrac{-a_{n}^3+3a_n}{2},S_n$是前$n$项的和，求证$S_n>n-1.$

kuing

bao li 等比放缩+数归即可。

令 $a_n=1-b_n$，则 $b_1=1/2$，且
\[1-b_{n+1}=\frac{-(1-b_n)^3+3(1-b_n)}2,\]
化简得
\[b_{n+1}=\frac12(3-b_n)b_n^2,\]
而
\[S_n=n-b_1-b_2-\cdots -b_n,\]
所以就是要证明
\[b_1+b_2+\cdots +b_n<1.\]

令
\[c_n=\frac{1075}{8192}\left( \frac{461}{1536} \right)^{n-3},\]
下面用数学归纳法证明：当 $n\geqslant3$ 时恒有 $b_n\leqslant c_n$。

易知 $b_3=c_3$，即当 $n=3$ 时成立，假设当 $n=3+k$（$k\inN$）时成立，即 $b_{3+k}\leqslant c_{3+k}$，则当 $n=3+k+1$ 时，由于 $(3-x)x^2$ 在 $(0,1)$ 上递增，所以
\[b_{3+k+1}=\frac12(3-b_{3+k})b_{3+k}^2\leqslant \frac12(3-c_{3+k})c_{3+k}^2,\]
故此只需证
\[\frac12(3-c_{3+k})c_{3+k}^2\leqslant c_{3+k+1},\]
而
\[c_{3+k+1}=\frac{461}{1536}c_{3+k},\]
即证
\[\frac12(3-c_{3+k})c_{3+k}\leqslant \frac{461}{1536},\]
因为
\[c_{3+k}\leqslant c_3=\frac{1075}{8192}<\frac15,\]
从而有
\[\frac12(3-c_{3+k})c_{3+k}<\frac12\left( 3-\frac15 \right)\frac15=\frac7{25}<\frac{461}{1536},\]
所以当 $n=3+k+1$ 时也成立，故由数学归纳法知 $b_n\leqslant c_n$ 对 $n\geqslant3$ 恒成立。

由此，我们有
\begin{align*}
b_1+b_2+\cdots +b_n&\leqslant b_1+b_2+c_3+c_4+\cdots +c_n \\
&<\frac12+\frac5{16}+\frac{1075}{8192}\sum_{n=3}^{\infty}\left( \frac{461}{1536} \right)^{n-3} \\
&=\frac12+\frac5{16}+\frac{1075}{8192}\cdot\frac1{1-\frac{461}{1536}} \\
&=1,
\end{align*}
即得证。

kuing

注：$c_n$ 的构造是由 forum.php?mod=viewthread&tid=4861 的程序给出。

zhcosin

先证明数列严格增加但永远不会达到1，即对任意正整数$n$总有$0<a_n<a_{n+1}<1$，上归纳法，由
\[ a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}a_n(1-a_n^2) \]
可知，由$0<a_n<1$可得出$a_{n+1}>a_n$，又
\[ 1-a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n^3-3a_n+2)=\frac{1}{2}(1-a_n)^2(2+a_n) \]
所以由$0<a_n<1$便得出$a_{n+1}<1$，所以数列严格增加但不会超过1.

对递推式取极限可以知道数列将趋于极限1，因此可设$a_n=1-b_n$，则只要证明$b_1+b_2+\cdots+b_n<1$，易得
\[ b_{n+1}=\frac{1}{2}(3-b_n)b_n^2 \]
而$b_n=1-a_n >0$，所以
\[ b_{n+1}<\frac{3}{2}b_n^2 \]
于是
\[ \frac{3}{2}b_{n+1} < \left( \frac{3}{2}b_n \right)^2 \]
上式记为(1)式，所以
\[ \frac{3}{2}b_n < \left( \frac{3}{2}b_1 \right)^{2^{n-1}} \]
所以最终
\[ b_n<\frac{2}{3} \left( \frac{3}{4} \right)^{2^{n-1}} = c_n  \]
但是很遗憾，$b_1+b_2+c_3=\frac{1}{2}+\frac{5}{16}+\frac{2}{3}\cdot\left( \frac{3}{4} \right)^4>1$，放缩失败。

回到对$b_n$的放缩过程，对(1)式的放缩， 我们尝试不要一直退到$b_1$，试试只退到$b_3$（以下过程在只退到$b_2$的情况下仍然放缩过度），此时有
\[ b_1=\frac{1}{2}, \  b_2=\frac{5}{16}, \  b_3=\frac{1075}{8192} \]
于是
\[ \frac{3}{2}b_n < \left( \frac{3}{2}b_3 \right)^{2^{n-3}} \]
从而
\[ b_n<\frac{2}{3} \left( \frac{3225}{16384} \right)^{2^{n-3}}  \]
而在$n>3$时，有$2^{n-3}\geqslant 2n-6$(利用$n=4,5$得出的割线)，所以在$n>3$时
\[ b_n<\frac{2}{3} \left( \frac{3225}{16384} \right)^{2n-6} = c_n  \]
于是
\[ b_1+b_2+\cdots+b_n <  \frac{1}{2} + \frac{5}{16} + \frac{1075}{8192} + \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{3225}{16384} \right)^2 \cdot \frac{1}{1-\left( \frac{3225}{16384} \right)^2} < 1 \]
这里没办法，上了计算器。证毕。

kuing

回复 4# zhcosin

还是要从 b3 开始放，数字就大了这题稍微有点紧……

zhcosin

回复 5# kuing
紧一点才有感觉啊，你知道我说的是什么

zhcosin

回复 5# kuing
忽然发现也可以简单点算，把看起来大坨的分数用简单分数来代替就行，在那里得到$n>3$时
\[ b_n < \frac{2}{3} \left( \frac{3225}{16384} \right)^{2n-6} \]
括号里那一坨分数接近但小于$\frac{1}{5}$，所以
\[ b_n < \frac{2}{3} \left( \frac{1}{5} \right)^{2n-6} \]
而 $b_3=\frac{1075}{8192} $接近但大于$\frac{1}{8}$，于是稍稍把分母放大一点，有
\[ b_3=\frac{1075}{8192}<\frac{5}{32}  \]
所以
\begin{align*}
b_1+b_2+\cdots+b_n & < \frac{1}{2}+\frac{5}{16} + \frac{1075}{8192} + \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^2 \cdot \frac{1}{1-\left( \frac{1}{5} \right)^2} \\
& < \frac{1}{2}+\frac{5}{16} + \frac{5}{32} + \frac{1}{36} \\
& < \frac{1}{2}+\frac{5}{16} + \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = 1
\end{align*}
注意最后一个小于是把最后一个分式的分母从36缩小到32的。

zhcosin

回复 1# caesarxiu
话说这题的参考答案是咋样的，有点好奇，发上来瞅瞅。

游客

第一、第二项开始放缩是放缩法思想，要多几项才能放缩且计算数据又不简单的，那就转为计算了，而计算要人工算就有点不现实，这样的题总有点坑害人的感觉。