简易等比放缩测试程序

kuing

之前在 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=redirect&go … d=4823&pid=22620（13楼）扯过等比放缩的基本套路，正如帖中网友游客所讲的：

如果要第5项开始才能放缩，这样谁还想着去算？早放弃了。
如果是考试，应该杜绝这种方法的题目，思维量不怎样，但能整死人。

还好考试什么的不关我事，既然有套路，计算自然交给软件，这两天玩开编程，顺便把这个也编个测试程序玩玩。

就用之前的实例来说吧。
例1：$1/(2-1)+1/(2^2-1)+\cdots+1/(2^n-1)<5/3$（kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=4841）

1. Clear["Global`*"];
2. testN = 10;(*参与测试的数列项数*)
3. testm = 5;(*测试的最大m*)
5. f[n_] = 1/(2^n - 1);
6. c = 5/3;
8. q[m_] := 1 - f[m]/(c - Sum[f[i], {i, 1, m - 1}]);
9. g[k_, m_] := f[m]*q[m]^(k - m);
10. Do[{
11.   k = m;
12.   While[k <= testN,
13.    If[f[k] > g[k, m], Break[]];
14.    k++];
15.   If[k > testN, mm = m; Break[]]
16.   }, {m, 1, testm}]
17. Print["m=", mm]
18. Print["q=", q[mm]]
19. Print["try: f[n]<=", f[mm], "*", q[mm]^(n - mm), ",n>=", mm]

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输出：
m=2
q=1/2
try: f[n]<=1/3*2^(2-n),n>=2
也就是链接中的放缩。

例2：开头链接中的题（无法求通项的情形）。

1. Clear["Global`*"];
2. testN = 10;(*参与测试的数列项数*)
3. testm = 5;(*测试的最大m*)
5. a[1] = 4;
6. Do[a[n + 1] = a[n]^2 - 2 n a[n] + 1, {n, 1, testN - 1}]
7. Do[f[n] = 1/(a[n] - 2), {n, 1, testN}]
8. c = 2/3;
10. q[m_] := 1 - f[m]/(c - Sum[f[i], {i, 1, m - 1}]);
11. g[k_, m_] := f[m]*q[m]^(k - m);
12. Do[{
13.   k = m;
14.   While[k <= testN,
15.    If[f[k] > g[k, m], Break[]];
16.    k++];
17.   If[k > testN, mm = m; Break[]]
18.   }, {m, 1, testm}]
19. Print["m=", mm]
20. Print["q=", q[mm]]
21. Print["try: f[n]<=", f[mm], "*", q[mm]^(n - mm), ",n>=", mm]

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输出：
m=3
q=1/22
try: f[n]<=1/44*22^(3-n),n>=3
也就是链接中的放缩。

例3，随便在网上搜到的：$a_1=a_2=5$, $a_{n+1}=a_n+6a_{n-1}$，证 $1/a_1+1/a_2+\cdots+1/a_n<1/2$。
求通项易知 $a_n=3^n-(-2)^n$，参考答案是通过证明当 $k$ 为奇数时 $1/a_k+1/a_{k+1}<4/3^{k+1}$ 来得出结果的，这里我们用那个套路，照样可行。

1. Clear["Global`*"];
2. testN = 10;(*参与测试的数列项数*)
3. testm = 5;(*测试的最大m*)
5. f[n_] = 1/(3^n - (-2)^n);
6. c = 1/2;
8. q[m_] := 1 - f[m]/(c - Sum[f[i], {i, 1, m - 1}]);
9. g[k_, m_] := f[m]*q[m]^(k - m);
10. Do[{
11.   k = m;
12.   While[k <= testN,
13.    If[f[k] > g[k, m], Break[]];
14.    k++];
15.   If[k > testN, mm = m; Break[]]
16.   }, {m, 1, testm}]
17. Print["m=", mm]
18. Print["q=", q[mm]]
19. Print["try: f[n]<=", f[mm], "*", q[mm]^(n - mm), ",n>=", mm]

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输出：
m=2
q=1/3
try: f[n]<=1/5*3^(2-n),n>=2
即只需证明 $n\ge2$ 时 $1/(3^n - (-2)^n)\le 3^{2-n}/5$ 即可（化简后为 $3^{n-2}\ge (-2)^{n-2}$）。


要改动的就是 f[n_] 和 c 那部分，其他都是固定的。

注意，测试结果未必一定成立，毕竟这里只取了数列的 10 项来测试，如果你想保险些也可以加大它。

如果测试失败，会输出 m=mm 等一堆没用的东西，如果确认输入没问题，就应考虑放弃，没必要加大 testm，因为保留5项都不行，很可能方向不对。

isee

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    有点意思，Mathematica 的确专业