有关三角函数恒成立问题

敬畏数学

任意$x\inR$，都有$3a(sinx+cosx)+2bsin2x\leqslant3$恒成立，则$a+b$取得最小值时，$a$的值为______？

其妙

二次函数。。。套路$a=-\dfrac45$

敬畏数学

[b]回复 2# 其妙
二次函数在闭区间根的分布，类似线性规划解决，有点复杂，是这套路吗？有别的做法。。。

走走看看

回复 2# 其妙


    试着做了一下，做不出来。

走走看看

回复 3# 敬畏数学


    感觉这题找不到切入口。“……≤3”恒成立，可能是负数，如果是“≥”，可以两边平方，但这里偏偏不是，所以不得其门而入。

isee

回复 2# 其妙

严重怀疑你“跑程序”得到的结果，要不就是记得结果。

isee

回复 3# 敬畏数学


    转化成二次函数后，其它方法理论上应该有，但我们不一定学得会，有更难的，参考(含绝对值)

kuing

闲来无事写写咯，的确是套路，还记得这帖 forum.php?mod=viewthread&tid=3738 吗？

令 $\sin x+\cos x=t\in \bigl[-\sqrt2,\sqrt2\bigr]$，则\[3a(\sin x+\cos x)+2b\sin 2x=3at+2b(t^2-1)=f(t),\]依题意得 $f(-1/2)\leqslant 3$，代入解得 $a+b\geqslant -2$，而当 $a=-4/5$, $b=-6/5$ 时 $f(t)=3-3(2t+1)^2/5$ 满足题意，所以 $a+b$ 的最小值为 $-2$。最后，还需说明取最小值的情况是唯一的，当 $a+b=-2$ 时 $f(-1/2)=3$，要 $f(t)$ 恒 $\leqslant3$，必须 $f'(-1/2)=3a-2b=0$，所以解是唯一的，即答案就是 $-4/5$。

isee

回复 8# kuing


    哈哈哈哈哈，这个真是学不来的，我想其实就是把$a+b$“线性变换”出来。。。。。。

敬畏数学

回复 8# kuing
高手出手了。附件的几篇文章很好！谢谢“军长”。哈哈。

敬畏数学

回复 2# 其妙

走走看看

回复 8# kuing
厉害！

其妙

回复  其妙

严重怀疑你“跑程序”得到的结果，要不就是记得结果。
isee 发表于 2017-11-28 19:54

跑啥程序？

isee

回复 13# 其妙


    好吧，我自己呢用Mathematica跑的。。。。。。

kuing

回复 14# isee

这题直接用MMC怎么跑？

isee

回复 15# kuing


    当然不是直接啦，写出式子后……