一条件两结论的不等式

力工

同一条件，不同结论，怎么证明？第一题已会。
已知 $a, b, c$ 为正数，且$ a + b + c = 3$.
(1)证明：  $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\geqslant ab+bc+ca$.
(2)证明：  $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}+abc+5\geqslant3( ab+bc+ca)$.

yao4015

回复 1# 力工

第2题在第1题基础上, 只需证
$$abc+5\geq 2(ab+bc+ca)$$
齐次化也就是3次对称式, 不难.

kuing

回复 2# yao4015

那这第2问就出得太逗鸟……

力工

回复 3# kuing
是的，感觉不适应。$abc+5$与$2(ab+bc+ca)$证不出啊，大神！

色k

回复 4# 力工

你是怎么证第一问的？

yao4015

回复 4# 力工
不等式
$$abc+5\geq 2(ab+bc+ca)$$
到少四种标准方法可做, 都是机械式的.
1. Schur分拆, 2 混合变元方法, 3. 差分代换, 4. UVW方法.
其中混合变元方法是最简便易行的.
令$f(a,b,c)=abc+5-2(ab+bc+ca)$
$$f(a,b,c)-f(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c)=\frac{(a-b)^2(2-c)}{4}$$
在假设 $a\geq b\geq c$ 下, 由条件$a+b+c=3$, 显然有 $c<2$. 即有
$$\frac{(a-b)^2(2-c)}{4}\geq 0.$$
剩下只需证明
$$f(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c)\geq 0.$$
等价于证
$$f(x,x, 3-2x)=(x-1)^2(5-2x)\geq 0.$$
显然成立.

力工

回复 6# yao4015
磨光！那请教1如何证？

力工

回复 5# 色k
酷神的撸T机(撸题集)里面的。不知有没有更好的，如熟悉的均值等法。

色k

回复 8# 力工

还以为你有了新证法

力工

回复 9# 色k
没有啊，所以求教。

yao4015

回复 7# 力工

第1题. 我也只见过切线法的证明.

力工

回复 9# 色k