求正方体的一顶点到面的距离

走走看看

回复 19# 其妙


可以做出来欣赏一下吗？

其妙

回复 21# 走走看看
好吧，还是写一写，权当练习下$LaTex$（很久不练习，都生疏了，以下做法有些许瑕疵，请自行完善）：
以$A$为原点，三条邻边为轴，建立坐标系，设平面$\alpha$的法向量为$\vv n=(x,y,z)$（不必取单位法向量或其它模长的法向量），由题意，
$\dfrac z{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\cos30^0=\dfrac{\sqrt3}2$，即：$z^2=3(x^2+y^2)$

点$C_1$到平面$\alpha$的距离为（这里选择了斜线向量$\vv{AC_1}$较好）：
$d=\dfrac{\abs{\vv{AC_1}\cdot\vv n}}{\abs{\vv{n}}}=\dfrac{\abs{(4,4,4)\cdot(x,y,z)}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\dfrac{\abs{4x+4y+4z}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\dfrac{4(x+y)+4\sqrt{3(x^2+y^2)}}{\sqrt{4(x^2+y^2)}}=\dfrac{2(x+y)}{\sqrt{x^2+y^2}}+2\sqrt3$，

以下同第一页的柯西不等式，从略。
用基向量本质上也是一样的，不再写出。

走走看看

回复 22# 其妙

太棒啦！谢谢您！学习了。

游客

走走看看

回复 24# 游客


  画得真棒！谢谢您！

realnumber

继续1楼的解答,
$\abs{(\vv{a}+\vv{b})·\vv{n}}=\abs{16x+32y}---(1)$
又$\abs{\vv{n}}=1$,得到$16x^2+32y^2+z^2=1----(2)$,
又夹角30度得到$\cos{30\du}=\frac{16x}{4},x=\frac{\sqrt{3}}{8}$
(1)简化为$\abs{(\vv{a}+\vv{b})·\vv{n}}=\abs{16x+32y}=\abs{2\sqrt{3}+32y}---(1')$
(2)简化为$32y^2+z^2=0.25$----(2')这样令z=0,$y=\frac{\sqrt{2}}{16}$,(1')取最大.

走走看看

回复 26# realnumber

我在15楼算错了。谢谢您的指点！