圆上一点的最小值问题

敬畏数学

直角坐标系XOY中，点$M$是圆$C:(x-4)^2+(y-4)^2=8$上任意一点,$A(1,-1)$,则$OM+2MA$的最小值为-----？

kuing

提示：用阿波罗尼斯圆

游客

当直线5x+7y=m与已知圆相切时？

敬畏数学

过O引圆C的两切线，切点为S、T，易得切点弦ST的直线方程为：x+y-6=0,直线OC方程x-y=0,从而得:直线ST与直线OC交点P(3，3),直线OC与圆C的交点Q(2,2),
$\dfrac{SO}{SP}=\dfrac{TO}{TP}=\dfrac{QO}{QP}=2$,
所以圆C即为阿氏圆$\dfrac{MO}{MP}=2$,
故OM+2MA=2(MP+MA),显然当A,M,P三点共线时取得最小，最小值为2AP=$4\sqrt{5}$

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谢谢提示！