求与$17/76$相邻的两个数.

isee

将属于$[0,1]$之间分母不超$99$的最简分数从小到大排列，求与$17/76$相邻的两个数.

走走看看

回复 1# isee
不用论，直接就看出来了，15/76、19/76。

kuing

回复  isee
不用论，直接就看出来了，15/76、19/76。
走走看看 发表于 2018-1-7 23:01

算算 19/85 和 15/67 与所给的数差多少
另外 19/76=1/4

力工

回复 2# 走走看看
16/75,18/77不更好吗？糖水。

hejoseph

\begin{align*}
\frac{17}{76}&=\frac{1}{4+\frac{1}{2+\frac{1}{8}}}\\
\frac{19}{85}&=\frac{1}{4+\frac{1}{2+\frac{1}{9}}}\\
\frac{15}{67}&=\frac{1}{4+\frac{1}{2+\frac{1}{7}}}
\end{align*}
得
\[
\frac{19}{85}<\frac{17}{76}<\frac{15}{67}
\]
其中
\begin{align*}
\frac{19}{85}&\approx 0.22352941176470588235\\
\frac{17}{76}&\approx 0.22368421052631578947\\
\frac{15}{67}&\approx 0.22388059701492537313
\end{align*}

kuing

回复 5# hejoseph

我也是这样算的，不过不会证明它是最佳的……

hejoseph

回复 6# kuing

例如计算到 $19/85$，在 $(19/85,17/76)$ 内分母最小的分数为
\[
\frac{1}{4+\frac{1}{2+\frac{1}{8+\frac{1}{2}}}}=\frac{36}{161}
\]
分母已超出范围。另一半类似讨论就可以了。

student_qwh

1=9*17-2*76=85*17-19*76，-1=67*17-15*76
于是容易证明19/85是最优结果，误差在1/(85*76)

student_qwh

别人告诉我的

hejoseph

类似的问题：求分母不超过 200，与 $\sqrt[3]{2}$ 最接近的分数。

wwdwwd117

想到了那个在分母不超过16000的一切分数中，最接近π的就是355/113,似乎这种问题都是连分数的本行。

isee

回复 6# kuing


    终于找到标答，哈哈。
列，求与 $\frac{17}{76}$ 相邻的两个数．
解
设 $x, y \in \mathbf{N}^*,(x, y)=1$ ，且 $\frac{x}{y}$ 是上述排列中 $\frac{17}{76}$ 左边的数，则
\[
\frac{17}{76}-\frac{x}{y}=\frac{17 y-76 x}{76 y}>0 .
\]
注意到 $17 y-16 x$ 为整数，所以 $17 y-76 x \geqslant 1$ ．
下面先求不定方程
\[\tag3
17 y-76 x=1
\]
满足 $1 \leqslant y \leqslant 99$ 的正整数解 $(x, y)$ ．
我们可以利用下面的方法来求（3）的一个特解：
\[
y=4 x+\frac{8 x+1}{17} \in \mathbf{Z},
\]
试算可知 $(x, y)=(2,9)$ 是一个特解．所以（3）的全部整数解为
\[
\left\{\begin{array}{l}
x=2+17 t, \\
y=9+76 t,
\end{array} t \in \mathbf{Z} .\right.
\]
满足（3）的正整数解中，$(x, y)=(19,85)$ 是符合 $1 \leqslant y \leqslant 99$ 且 $y$ 最大的解，而此时 $y=85>\frac{99}{2}$ ，所以与 $\frac{17}{76}$ 相邻的两个数中左边那个是 $\frac{19}{85}$ ．类似可知，所求的右边那个数为 $\frac{15}{67}$ ．

Tesla35

回复 12# isee
这是命题人那本书？

isee

回复 13# Tesla35


    忘记了咯，是不是数论都忘记了，不过，是命题人系列中的某一本，却有95%上的把握，具体哪一本不记得了