正四面体中求线段比

isee

已知正四面体$ABCD$中，$E$为$BC$的中点，$P\in AE$，$Q\in CD$，$PQ$是$AE$与$CD$的公垂线，求$AP/PE$.

走走看看

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再看一题：
已知正四面体ABCD中，E为AB的中点，F为CD上任意一点。(1)求证：不论F在棱CD上何处位置总有EF垂直AB，(2)若满足CF=FD，求异面直线BF与DE所成角的余弦值。

zhidao.baidu.com/question/745614481554092772.html
（2）的答案错，应该是$\frac{2}{3}$，而不是$\frac{1}{2}$
让人不解的是小猿搜题也是$\frac{1}{2}$

走走看看

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按说用向量是可行的，但试了下没有求出来。

zhcosin

有何难度，纯几何法和向量法，随便搞。

hejoseph

关于公垂线这个结论一般都会有些用处的：

定理 1.4.8．如图 1.4.7，二面角 $\varphi_1-A C-\varphi_2$ 的平面角是 $\gamma, A B$ 在 $\varphi_1$ 内，$C D$ 在 $\varphi_2$ 内， $\angle B A C=\alpha, \angle A C D=\beta, A C=a$ ，向量 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{C D}$ 的夹角是 $\theta, A B, ~ C D$ 所成角是 $\psi, A B$ ， $C D$ 的公垂线交直线 $A B$ 于点 $K, A B, ~ C D$ 的公垂线交直线 $C D$ 于点 $L$ ．直线 $A B$ 上的有向线段当与 $\overrightarrow{A B}$ 同向时为正，反向时为负．直线 $C D$ 上的有向线段当与 $\overrightarrow{C D}$ 同向时为正，反向时为负．直线 $A B, ~ C D$ 的距离是 $d$ ，则
（1）$d=\frac{\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma}{\sin \theta} \cdot a=\frac{\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma}{\sin \psi} \cdot a$ ；
（2）$A B, ~ C D$ 的公垂线位置由下式确定：
\[
\overline{A K}=\frac{\cos \alpha+\cos \beta \cos \theta}{\sin ^2 \theta} \cdot a, \overline{C L}=\frac{\cos \beta+\cos \alpha \cos \theta}{\sin ^2 \theta} \cdot a .
\]

zhcosin

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用坐标方法都搞不出来，那就该打屁股了。

走走看看

设正四面体的棱长为6,以底面BCD的中心为原点,建立如图所示的空间直角坐标系。

易知$A(0,0,2\sqrt{6} ),E(\sqrt{3},0,0 ),D(-2\sqrt{3},0,0 ),C(\sqrt{3},3,0)$

设P、Q坐标分别为(x,y,z)、(x’,y’,z’),并设$\vv{AP}=λ\vv{AE},  \vv{DQ}=μ\vv{DC}$

则有$(x,y,z-2\sqrt{6} )= λ(\sqrt{3},0,-2\sqrt{6} ),(x’+2\sqrt{3} ,y’,z’)=μ(3\sqrt{3},3,0)  $

所以$P(\sqrt{3}λ,0,2\sqrt{6}(1-λ) ),Q(3\sqrt{3}μ-2\sqrt{3},3μ,0 ),$

所以$\vv{PQ}=(\sqrt{3}λ-3\sqrt{3}μ +2\sqrt{3},-3μ,2\sqrt{6}(1-λ)).$

又 $\vv{AE}·\vv{PQ}=0,  \vv{DC}·\vv{PQ}=0$, 即 $\led27λ-9μ&=18\\ 9λ-36μ&=-18 \endled\ledλ&= 10/11\\ μ &= 8/11\endled$

所以 $\frac{AP}{PE}=10$

走走看看

回复 8# zhcosin

很想看看您的几何法。