无穷大 是不是 无穷大量 的“简称”？

isee

RT

isee

手上只有华东师大的第三版的数分，翻了下无果。

网上查了下， 这个第9页说是

Infinity

1. “无穷”有两层意义：实无穷和潜无穷。犹如波粒二象性意义，同时存在但实例化时只能是其中一种。

2. 类似地，“极限”具有双重意义：一个变化趋势、过程（对应于“潜无穷”），以及一个具体存在的极限值（对应于“实无穷”）。

根据这两点可得知，术语“无穷大”（或“无穷小”）各自包含两层含义：第一层是（潜无穷意义下的）一种变化过程/趋势，永远存在而无法完成；第二层则是（实无穷意义下的）可以达到或完成的极限值。

第一层含义便是现行标准分析学中使用的 $\varepsilon-\delta$ 语言所描述的，第二层则是非标准分析学层面上的，它也可以从（收敛或发散）级数的观点来理解。无穷大量($\infty$ )与有限的数值不同，因为它不遵守某些确定的有限数的运算规则，并且具有量子特性（跟量子的不确定性类似）——不存在奇偶性，也没有确定的正负性。

注意，正无穷大量和无穷大量是两种不同的对象，后者只保证绝对值无界，符号可以任意规律变化，而前者还保证符号为正。

由于人们说话为了方便，往往有所省略，比如在说“无穷大”的时候，往往心里想表达的是“无穷大量”。类似地，很多人说“无穷”的时候，往往指的是“无穷多”，而非指“实无穷”或“潜无穷”中的一个。事实上，“无穷多”属于另一个范畴——可数无穷和不可数无穷。

isee

回复 3# Infinity


    哎呀，这帖与你的ID太配了。

    感觉没说完啊，好像还有话很多。

    thx

Infinity

回复 4# isee

id是当时实在是想不到昵称，随便取的呢。就楼主的问题来说，应该算说完了吧如果你还有什么想一起探讨的，可以提出来。

zhcosin

楼主能不能不要纠结于文字游戏?

isee

回复 6# zhcosin


    要向别人叙述，所以有此一问。

hbghlyj

isee 发表于 2018-1-16 14:59
网上查了下， 这个第9页说是

对不起，该文档已被删除

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2023-4-18 07:56
对不起，该文档已被删除

与基础数学相关的东西(除了中学竞赛类)就别指望百度文库了.

传统的数学分析根本不会触及无穷序数/无穷基数. 例如 Cauchy 列根本不关无穷什么事; 判断 $|\mathbb N^{\mathbb N}|=|\mathbb R|$ 时才需要一些无穷基数相关的知识. 数学分析求极限无非是对可数序列做一个 direct limit, 例如用 $\varepsilon-\delta$ 语言判断 $\lim_{n\to\infty}s_n=0$ 时根本不会出现具体值等于 $0$ 的对象, 我们只是在证明"用多少都管够"这事儿, 并没有引入什么更大的 universe. 数学分析里最极限的操作就是用所有 direct limit 延拓原空间, 从而做到完备化.

总而言之, 华师教材对"无穷大""无穷大量"等的定义无非语言艺术罢了. 较理想的数学分析教材, 华师教材以难度要求故舍去了许多概念与反例. 这套教材对受众群体(高数入门者, 数23考研者)来讲确实优秀, 其主要目的是让读者快速掌握数学分析这一工具, 而非深究数学.

APPSYZY

Czhang271828 发表于 2023-4-18 16:06
与基础数学相关的东西(除了中学竞赛类)就别指望百度文库了.

传统的数学分析根本不会触及无穷序数/无穷基 ...

能否推荐一些有助于深入探究数学的更严格严谨的数学分析书籍？

Czhang271828

APPSYZY 发表于 2023-7-25 21:06
能否推荐一些有助于深入探究数学的更严格严谨的数学分析书籍？

取决于你的研究方向吧. 我不觉得数学分析是一门好学科, 为何想深入学习之?

hbghlyj

相关的研究方向：
MSC 2020编号26 Real functions，特别是26Axx Functions of one variable
Arxiv分类Math.CA：Classical Analysis and ODEs

APPSYZY

Czhang271828 发表于 2023-7-26 14:16
取决于你的研究方向吧. 我不觉得数学分析是一门好学科, 为何想深入学习之?  ...

各大高校数学系都是以数学分析作为打好基础的第一门课的，所以非常希望您能够推荐几本优秀的数学分析书籍，不分国内外。

Czhang271828

APPSYZY 发表于 2023-7-28 14:59
我的研究方向是最优化理论，属于应用数学的范畴了。想要深入学习数学分析，是因为无论是华师大版，还是陈 ...

近期一直有事, 回复不及时.

我的评价是数学分析真的没用, 不如多攻克一些本专业适用的算法. 我对最优化不熟悉, 但刚在浏览了《最优化理论与算法》（陈宝林）一书的每一章节, 觉得还是线性代数(无穷维情况就是线性泛函分析), 数值分析, 组合图论这些更重要吧.

对计算机来说, 没有什么无限, 对象的存储和计算只能是离散的. 例如想做一个分析的问题(比如解 PDE), 最后不还是得回到有限元, 即在离散的图上计算很大的稀疏矩阵.

APPSYZY

Czhang271828 发表于 2023-7-30 14:32
近期一直有事, 回复不及时.

我的评价是数学分析真的没用, 不如多攻克一些本专业适用的算法. 我对最优化 ...

非常感谢！

hbghlyj

Infinity 发表于 2018-1-19 12:34
...非标准分析学层面上的

相关书籍（第一章）：people.math.wisc.edu/~hkeisler/chapter_1c.pdf