一个群里的椭圆题目

2009

若 Rt $\triangle A B C$ 的三个顶点都在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>1)$ 上，其中 $A(0,1)$ 为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为 $\frac{27}{8}$ ，则实数 $a$ 的值为

isee

斜边定点$-\dfrac {a^2-1}{a^2+1}$，粗算了下，似乎斜边的斜率与这个不好挂上。。

kuing

嗯，这题相当于两道题的合成：证定点、弦过定点求面积最值，这两题都需要大算特算，真是……
定点的结论见这帖 forum.php?mod=viewthread&tid=2623；
求最值的话设斜边的斜率搞韦达之类的来算应该不成问题，可我不想动。

走走看看

a=3。

kuing

其实不用搞什么定点，直接算还简单些。

为方便书写，记 $1/a^2=m\in(0,1)$，设直线 $AB$ 的方程为 $y=kx+1$，代入椭圆方程 $mx^2+y^2=1$ 中，解得点 $B$ 的横坐标为
\[x_B=-\frac{2k}{m+k^2},\]
因此
\[AB=\sqrt{1+k^2}\abs{x_B}=\frac{2\abs k\sqrt{1+k^2}}{m+k^2},\]
作置换 $k\to-1/k$，得
\[AC=\frac{2\sqrt{1+k^{-2}}}{\abs k(m+k^{-2})},\]
因此
\begin{align*}
S&=\frac12AB\cdot AC\\
&=\frac{2\sqrt{1+k^2}\sqrt{1+k^{-2}}}{(m+k^2)(m+k^{-2})}\\
&=\frac{2\sqrt{2+k^2+k^{-2}}}{m^2+1+m(k^2+k^{-2})}\\
&=\frac{2\abs{k+k^{-1}}}{(1-m)^2+m(k+k^{-1})^2},
\end{align*}
令 $t=\abs{k+k^{-1}}\geqslant2$，则
\[S=\frac{2t}{(1-m)^2+mt^2}=\frac2{\frac{(1-m)^2}t+mt},\]
所以
\[S_{\max}=\led
&\frac2{\frac{(1-m)^2}2+2m}=\frac4{(1+m)^2}, && \frac{1-m}{\sqrt m}\leqslant2, \\
&\frac1{(1-m)\sqrt m}, && \frac{1-m}{\sqrt m}>2,
\endled\]
写回 $a$，即
\[S_{\max}=f(a)=\led
&\frac{4a^4}{(a^2+1)^2}, && a-\frac1a\leqslant2, \\
&\frac{a^3}{a^2-1}, && a-\frac1a>2,
\endled\]
可以证明 $f(a)$ 递增且 $f(3)=27/8$，所以 $a=3$。

其妙

kk这里用了一个常识：
当线段的一个固定端点在二次曲线上，则另一个变动的端点（也在此二次曲线上）可以用某个参数（例如斜率参数）表示出来（例如用韦达定理求出另一个变动的端点的横坐标）。从而成功的表示出三角形每个点的坐标（此话在本论坛我不止评论过一次了，但不知链接走在何处了），于是三角形的面积就可以用某个公式了（例如行列式的面积公式算一个，不过本题有垂直，也可以不用此公式），

isee

回复 6# 其妙


    本题的难点在于最值，不在面积表达式。。。。

其妙

回复 7# isee
面积表达式都出来了，最值还会远吗？讨论一下双钩函数即可（不过如此的计算量我是算不正确的）