下列哪一個方程式有最大實根

ta5607

考完AMC12後還是有兩題想不透 QQQ
求解~謝謝啦 !

下列哪一個方程式有最大實根
(A)\(x^{19}+2018x^{11}+1=0\)
(B)\(x^{17}+2018x^{11}+1=0\)
(C)\(x^{19}+2018x^{13}+1=0\)
(D)\(x^{17}+2018x^{13}+1=0\)
(E)\(2019x+2018=0\)

對於正整數n及非零的數字a，b，c，令\(A_{n}\)為n位數，他每一位數的數字都是a；\(B_{n}\)為n位數，他每一位數的數字都是b；\(C_{n}\)為2n位數，他每一位數的數字都是c。試問若至少存在兩個n滿足\(C_{n}-B_{n}=A_{n}^{2}\)，則a+b+c最大可能值為多少
(A)12
(B)14
(C)16
(D)18
(E)20

realnumber

第一个是B,
理由E这根接近-1，B的根接近-0.5，也可以把-2017/2018代入BE来排除E
ABCD左边构造函数，求导后说明在x<0时，函数单调递增。又-1代入都小于0，0代入大于0，设方程B的根为t（即$t^{17}+2018t^{11}+1=0$,-1<t<0）,把t代入ACD左边，比如A的左边，这样$t^{17}t^2+2018t^{11}+1>0$,说明A的根在(-1,t)内

ta5607

回复 2# realnumber

了解了，謝謝
那第二題呢 ?

isee

AMC12
全美数学竞赛12（The American Mathematics Competition 12

kuing

“下列哪一個方程式有最大實根”是不是说成“下列哪一個方程的實根最大”才是？

realnumber

第二题，也许需要程序辅助，我也不会，
88-7=9^2,7+8+9=24，要证明7,8,9再无对应的解？
66-2=8^2
55-6=7^2  ，5+6+7=18
44-8=6^2  ,4+8+6=18  看来只要考察20就够了，再想想---(这里想歪了，还是看9楼吧)

realnumber

回复 5# kuing


    也许楼主用英语说中文？

realnumber

20=9+9+2=9+8+3=9+7+4=9+6+5=8+8+4=8+7+5=8+6+6
=7+7+6
比如第一个9，9，2，显然不会有，这些都可以排除掉吧，好像没问题了？
那么最大是18（ 很不负责）

kuing

易证
\[C_n-B_n-A_n^2=-\frac 1{81}(10^n-1)\bigl((a^2-9c)10^n-a^2+9b-9c\bigr),\]
那么至少存在两个 $n$ 使 $C_n-B_n=A_n^2$ 等价于
\[a^2-9c=-a^2+9b-9c=0,\]
易知只有两解：$a=3$, $b=2$, $c=1$ 以及 $a=6$, $b=8$, $c=4$。

kuing

回复 9# kuing

而且很容易知道，当 $n\geqslant3$ 时除了上述两个解之外就再无其他解。

ta5607

回复 5# kuing



考卷上真的這樣寫 QQ

其妙

回复 11# ta5607
台湾的题目