求三角函数的范围

走走看看

$已知B是三角形的内角，求 \frac{1}{2}sinBcosB+\frac{\sqrt{3}}{6}sin^2B的范围$。

力工

回复 1# 走走看看
这个不是很平常的问题吗？我这渣渣都一看就知。“ZZKK"老师，里面有铁钉么？

走走看看

回复 2# 力工

刚刚看出来。上午到了这里，把 $cosB化成\sqrt{1-cos^2B}$ 的形式，然后发现再平方就是高次项，就搁下来了。把它们化成两倍角就容易了。

走走看看

回复 3# 走走看看

现在还有一题：
$在△ABC中sinA+sinB+sinC的最大值是什么?$
$要求写出推导过程，不用sinX的凹凸性。$

这道题有点麻烦。
$sinA+sinB+sinC=2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+sinC=2cos\frac{C}{2}(cos\frac{A-B}{2}+sin\frac{C}{2})$
$                      =2cos\frac{C}{2}(cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+B}{2})=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$

到了这里，查了下公式，$ cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}≤\frac{3\sqrt{3}}{8}。$
$ 于是得到 A=B=C时取得最大值，最大值为\frac{3\sqrt{3}}{2}。$

关于 $ cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}≤\frac{3\sqrt{3}}{8}$ 的证明，参见：
wenda.xueersi.com/020BJ4K2017.html

希望有其他的推导。

isee

回复  走走看看

现在还有一题：
在△ABC中sinA+sinB+sinC的最大值是什么?
要求写出推导过程，不用sinX的 ...
走走看看 发表于 2018-3-3 15:39

    这都不写代码？！

forum.php?mod=viewthread&tid=2564

走走看看

回复 5# isee


谢谢！
关于代码，在不影响美观的前提下，能不写就不写了。

isee

回复 6# 走走看看


    扯蛋。。。。

走走看看

回复 7# isee

不用扯蛋了，扯蛋蛋疼，把它改了一下。

kuing

回复 7# isee

何必强求他人写代码？
我都能想象到写代码对他来说是多累的活，所以你之前和他说文字公式分开写之类的显然是多余的，因为能省一个 \$ 就省一个 \$ ，只要能看就行了，所以我也决不会叫他把 $sin$ 写成 $\sin$ 。

isee

回复 9# kuing


    不对不对，如何是强求的，就不笑侃了。。。。

realnumber

回复 4# 走走看看


    假定三角形ABC外接圆半径固定，那么先固定BC点，移动A点，在AB=AC时候，周长才最大--①。用反证法结束这个无限过程，假设有2边不一样，那么重复①。①可以利用椭圆，圆直观看到的。

其妙

由平面几何关系可以得到：$OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)\geqslant0$得到，$a^2+b^2+c^2\leqslant9R^2$，故$\sin ^2A+\sin ^2B+\sin ^2C\leqslant\dfrac94$，

于是，$\sin A+\sin B+\sin C\leqslant\sqrt{3(\sin ^2A+\sin ^2B+\sin ^2C)}\leqslant\dfrac{3\sqrt3}2$

另外，恒等式$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}$，也可以用几何方法证明，

isee

回复 12# 其妙


哎呀，其妙公式代码强势回归啊。。。。

其妙

回复  其妙


哎呀，其妙公式代码强势回归啊。。。。
isee 发表于 2018-3-4 14:49