直径扫过的面积

APPSYZY

kuing

抛物线是不是写错了

realnumber

圆A,怎么移动，半径变不变，移动过程中，...，总觉得没说清楚，

kuing

按我的理解，大小应该是不变的，选定的直径也是相对固定，就是整个平移。

kuing

像楼上所示的这种属于简单的情况，即该直径在平移时是“保持前进”的，那么它扫过的面积是容易计算的，如下图：

根据“祖*原理”（那个字向来不会打）可知扫过的面积等于那个长方形的面积，它的宽是2，而长则 $\leqslant AD$，所以这种情况的最大值就是 $2AD=4\sqrt5$。

而像楼主所选的直径就会复杂些，像这样：

它的面积理论上可以计算，但这里就不算了，因为目测它是不会大于上面的，所以就不管了

目测这是初中题，就不弄太严格了

APPSYZY

回复 2# kuing
抛物线少加了一个“-”
这的确是一道初中题(四年前)，那种比较难求面积的情况讲给老师听，她表示无法脑补，所以一直想寻求真解，谢谢kuing！

isee

回复 5# kuing


    暅 jngg

kuing

回复 7# isee

我这里 jngg 只能打出 怛

kuing

闲来无事，还是来扯扯复杂情形的面积。



如图，该直径先由 $A_1A_2$ 扫到 $Q_1Q_2$，这部分面积 $S_1=2h_1$；再由 $Q_1Q_2$ 扫到 $D_1D_2$，这部分面积 $S_2=2h_2$，但是这两部分有重叠，记重叠部分的面积为 $S_{\text{叠}}$，则所求面积就是 $S=2h_1+2h_2-S_{\text{叠}}$。

复杂就是复杂在 $S_{\text{叠}}$ 的计算很麻烦，不仅需要计算交点坐标，算定积分，还需要分三种情况来讨论。

第一种就是上图的情形，重叠部分为：


第二种：


还有第三种的，就是 $Q_1Q_2$ 很接近 $A_1A_2$ 的时候，不过很难看清，就不画了。

真的搞起来实在太麻烦，不想算了。

不过 $S_{\text{叠}}$ 相对很小，所以所求值 $S$ 大致就是比 $2h_1+2h_2$ 小一点点。

也可以严格地证明 $2h_1+2h_2<2AD$ 来说明原题不需要考虑这种复杂情况。

kuing

回复 9# kuing

续：
设切点 $Q$ 的横坐标为 $q$，由于 $Q$ 必在弧 $AD$ 内，所以 $-1<q<1$，不难求出切线 $Q_1Q_2$ 的方程为 $y=(2-2q)x+q^2+3$，然后代点到直线距离公式，化简后可得
\[2h_1+2h_2=\frac{4q^2+4}{\sqrt{(2-2q)^2+1}},\]
而
\[\left(\frac{4q^2+4}{\sqrt{(2-2q)^2+1}}\right)^2-64=\frac{16(q-1)\bigl(q^2(q+1)+19-13q\bigr)}{(2-2q)^2+1}<0,\]
所以
\[2h_1+2h_2<8,\]
也就是说复杂情形的面积一定小于当所选直径平行于 $x$ 轴时的面积。

APPSYZY

回复 10# kuing
感谢kuing！至此，问题完美解决啦！

APPSYZY

不知是否存在最小面积？

色k

最小值肯定是存在的，不过要想知道是多少就必须计算 S叠 的表达式了