利用巧方法解决函数最值

青青子衿

$f(x)=(1-\sqrt x)^4+x^2$
$f(x)=(1-\sqrt[3]{x^2})^3+x^2$

kuing

第一个
\[\frac{\bigl(1-\sqrt x\bigr)^4+\bigl(\sqrt x\bigr)^4}2\geqslant\left( \frac{1-\sqrt x+\sqrt x}2 \right)^4;\]

第二个展开换元变成二次函数。

其妙

回复 2# kuing
我刚刚准备发帖，你就给了相似的做法！
第一个：除了kuing的做法外，还可以连续两次柯西，
  $f(x)=(1-\sqrt x)^4+x^2\geqslant\dfrac{1}2[(1-\sqrt x)^2+x]^2\geqslant\dfrac18$，

这里再次用了柯西：$(1-\sqrt x)^2+x\geqslant\dfrac12[(1-\sqrt x)+\sqrt x]^2=\dfrac12$。

第二个：$f(x)=(1-\sqrt[3]{x^2})^3+x^2=\dfrac{(1-\sqrt[3]{x^2})^3}{1^2}+\dfrac{(\sqrt[3]{x^2})^3}{1^2}\geqslant\dfrac{(1-\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x^2})^3}{(1+1)^2}=\dfrac14$

kuing

回复 3# 其妙
第二个奇数次，不对实数成立，所以我没用这招。

其妙

回复 4# kuing
哦，我求的是$0\leqslant x<1$的最值了！
不过那是偶函数，实际求的是$-1<x<1$的最值是$\dfrac14$了。
下面再证明当$|x|\geqslant1$时，$f(x)>\dfrac14$，可行不？