有关圆锥曲线的切线三角形的面积关系

游客

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   化简一下：

游客

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敬畏数学

回复 20# 游客
你整的这些东西要看很久才能懂，很高深啊。

游客

回复 23# 敬畏数学


    始终关注一个基础：经过抛物线两切线的交点与以两切点为端点的弦的中点的直线，跟抛物线的对称轴平行或重合。

lemondian

回复 22# 游客


    得慢慢学习体会！

lemondian

回复 16# lemondian

听闻双曲线与椭圆的结论一样？

游客

椭圆两切线的交点和中心的连线平分以两切点为端点的弦，跟抛物线有点区别。

lemondian

有人说椭圆与双曲线用参数方程要简单，他说没空写！

lemondian

K神，有空解决一下双曲线的吧。谢谢了

lemondian

lemondian

找到了这个：


可惜又是没有证明过程的，各位大神看看.

lemondian

回复 14# kuing

@kuing:能不能用3#的坐标法来弄呢？

huing

面积比不变只是仿射变换群的属性，不是射影变换群的属性。非退化的圆锥曲线在仿射变换下分为三类：椭圆、抛物线、双曲线，所以不要太指望抛物线的仿射属性在椭圆和双曲线上也同样有。
在仿射几何中，三类的定义如下：
椭圆：与无穷远线相离的二次曲线。
抛物线：与无穷远线相切的二次曲线。
双曲线：与无穷远线相交的二次曲线。
与相离和相交相比，相切确实更特殊一些，所以抛物线会有一些独特的仿射不变量。

huing

题设命题与下列命题等价：抛物线弓形的面积等于其外切三角形面积的2/3.

player1703

回复 34# huing
用原命题推导弓形面积时要加上如下假设:
抛物弓形外切三角形面积与弓形面积的比值是定值

huing

回复 35# player1703 不需要，需要的是求极限的思想。

huing

说一下上述基于极限思想的证明，也蛮奇妙的，叙述多一点，贵在没有暴力计算。
从中可以看出命题为什么只对抛物线成立，而对于椭圆和双曲线不能恒成立。

且记无穷远线为 $l_\infty$, 抛物线上的无穷远点为$T_\infty$. $T_\infty$是 $l_\infty$与抛物线的切点，这是抛物线区别于椭圆和双曲线的特征。

引理1  命题在$DE\px AB$时特定成立。
证明：设$DE$与$AB$相交于$F_\infty$. 连结直线$PT_\infty$, 交AB于点 M。
由于直线$PT_\infty$是点$F_\infty$的极线，C是弦AB的极点，根据配极对应原则，C在直线$PT_\infty$上。
并且$CMPT_\infty$是调和共轭点组，所以P是CM的中点。故DE为$\triangle{ABC}$的中位线，$\S{CDE}=\frac12\S{PAB}$, 命题成立。

引理2 曲边三角形面积$\S{C\overline{AB}}=\frac12S_{抛物线弓形BA\overline{AB}}$
式中$\overline{AB}$抛物线弧段AB，应该是弯顶，咱暂时搞不了，就不费那事了。
证明：按引理1的图，即$DE\px AB$，作以下面积分割：
$\S{C\overline{AB}}=\S{CDE}+\S{D\overline{AP}}+\S{E\overline{BP}}$
$S_{抛物线弓形BA\overline{AB}}=\S{PAB}+S_{抛物线弓形PA\overline{AP}}+S_{抛物线弓形PB\overline{BP}}$
由引理1 $\S{CDE}=\frac12\S{PAB}$得
$\S{C\overline{AB}}=\frac12S_{抛物线弓形BA\overline{AB}}\liff\S{D\overline{AP}}=\frac12S_{抛物线弓形PA\overline{AP}}\land\S{E\overline{BP}}=\frac12S_{抛物线弓形PB\overline{BP}}$
这样大的面积关系就被分割、归结为同构的小的面积关系，如此分割下去，小的面积极限为零，$0=\frac12\cdot0$成立。

最后，我们来证明原命题，DE在一般位置。
$\S{CDE}=\S{C\overline{AB}}-\S{D\overline{AP}}-\S{E\overline{BP}}$
$\S{PAB}=S_{抛物线弓形BA\overline{AB}}-S_{抛物线弓形PA\overline{AP}}-S_{抛物线弓形PB\overline{BP}}$
由引理2知，以上两式右边对应项有倍半关系，故左边对应亦然。

huing

换成了全图

player1703

回复 37# huing
用弓形面积证明原题很简单过程就是你证明的最后几行我的和你一样. 其实我的意思是如果只从原题结论$\S{CDE}=\frac{1}{2}\S{PAB}$出发推出弓形面积. 因为你说的是等价我以为可以几步简单搞定. 事实上只通过$\S{CDE}=\frac{1}{2}\S{PAB}$ 加上$DE\px AB$可以证明$DE$是中位线但是无法说明$P$是$DE$的中点. 用极限当然可以(不需要用到$P$是$DE$的中点)就是对于等价证明我觉得有点过于复杂了.
你的证明中$0=\frac{1}{2}⋅0$ 那步有点牵强用下面的无穷极数方法更好:
$\S{CDE}=\frac{1}{4}\S{CAB}$, $\S{PAB}=\frac{1}{2}\S{CAB}$
$\therefore \S{DAP} + \S{EBP} = \frac{1}{4}\S{CAB}$
在$\triangle DAP$和$\triangle EBP$内分别作平行于$AP$, $BP$ 的切线又围出两个小三角形, 这两个小三角面积之和为$\frac{1}{4}\S{DAP} + \frac{1}{4}\S{EBP} = \frac{1}{4}\left(\S{DAP} + \S{EBP}\right) = \frac{1}{4^2}\S{CAB}$
把这个面积加到$\S{CDE}$上就更逼近$\S{C\overline{AB}}$的面积
依此类推继续作更多小三角形, $n$ 步以后所有小三角形(包括$\triangle CDE$)面积总和为$\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{4^{n-1}}\right)\S{CAB}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4^n}\right)\S{CAB}$
取极限$n\to\infty$就得到$\S{C\overline{AB}}=\frac{1}{3}\S{CAB}$
但是这么做其实还有问题, 就是你怎么严格证明极限最后一定等于弓形面积. 更完美的方法是内外同时逼近(里面逼近类似,具体步骤请看 lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122339), 得到
$\frac{2}{3}\left(1-\left(\frac{1}{4}\right)^n\right)\S{CAB} \le S_{弓形BA\overline{AB}}\le \frac{2}{3}\left(1+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^n\right)\S{CAB}$
最后用夹逼原理.
其实仔细看最后一个不等式, 多出来的面积是少的面积的$\frac{1}{2}$, 本质上和你的证明是一模一样的只是用夹逼原理有了更严格的表述.