函数方程

APPSYZY

APPSYZY

其中x1,x2是在y=f(x)的定义域内任取的，使得图中的等式恒成立

tommywong

$

x_1=x_2+\Delta x\\
\displaystyle
\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{x_1^2-x_2^2}{f^2(x_1)-f^2(x_2)}=\frac{2x_2}{(f^2)'(x_2)}=k\\
\displaystyle
(f^2)'(x)=\frac{2x}{k}\\
\displaystyle
f(x)=\pm\sqrt{\frac{x^2}{k}+C}$

tommywong

$\displaystyle

\frac{2f(x)}{2xf'(x)}=k\Rightarrow f(x)=C\sqrt[k]{x}\\
\displaystyle
\forall x_1,x_2,\frac{(\sqrt[k]{x_1}+\sqrt[k]{x_2})(x_1-x_2)}{(\sqrt[k]{x_1}-\sqrt[k]{x_2})(x_1+x_2)}=k\Rightarrow k=1\\

f(x)=Cx\\
\displaystyle
\frac{f(x)}{xf'(x)}=k\Rightarrow f(x)=C\sqrt[k]{x}\\
\displaystyle
\forall x_1,x_2,\frac{1-x_2/x_1}{1-\sqrt[k]{x_2/x_1}}=k\Rightarrow k=1\\

f(x)=Cx
$

APPSYZY

回复 4# tommywong
感谢tommy wong的解答，谢谢！
(也就是说，满足第二种情况的k只能取1了吧)

APPSYZY

突然发现，将三楼的函数带入一楼的第一个等式，是算不通的，是我哪里算错了吗？(算了好多遍了)

APPSYZY

回复 6# APPSYZY
是否当增量△x不趋近于0时，就不成立了呢？

zhcosin

第二个，方程化成
\[ \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{1}{k}\cdot \frac{f(x_1)}{x_1} \]
于是我们固定 $x_1$，变化 $x_2$， 就知道这是一条直线。

tommywong

回复 6# APPSYZY

之前在这里看到的题目是$\dfrac{x_1^2-x_2^2}{f^2(x_1)-f^2(x_2)}=k$，三楼是做这个

APPSYZY

回复 8# zhcosin
感谢zhcosin的指点！
我取f(x)=m/x为反比例函数带入一楼第一个等式，此时等式成立，常数k=-1，而f(x)=m/x显然不满足f(x)=±sqrt(x^2/k+C)的形式