2018海淀一模选择压轴题

aishuxue

已知点 $M$ 在圆 $C_1:(x-1)^2+(y-1)^2=1$ 上，点 $N$ 在圆 $C_2:(x+1)^2+(y+1)^2=1$ 上，则下列说法错误的是

• $\overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{O N}$ 的取值范围为 $[-3-2 \sqrt{2}, 0]$
• $|\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}|$ 的取值范围为 $[0,2 \sqrt{2}]$
• $|\overrightarrow{O M}-\overrightarrow{O N}|$ 的取值范围为 $[2 \sqrt{2}-2,2 \sqrt{2}+2]$
• 若 $\overrightarrow{O M}=\lambda \overrightarrow{O N}$ ，则实数 $\lambda$ 的取值范围为 $[-3-2 \sqrt{2},-3+2 \sqrt{2}]$

双动点，一上午在办公室想了很长时间，没头绪，
请教各位！

kuing

画图看，B 的上限应该是 2

aishuxue

计算过程是什么？

kuing

回复 3# aishuxue

这还用计算吗？设 `C_1` 圆心是 `A`，`C_2` 圆心是 `B`，则 $\vv{OM}+\vv{ON}=\vv{OA}+\vv{AM}+\vv{OB}+\vv{BN}=\vv{AM}+\vv{BN}$，也就是两个单位向量的和，显然当它们方向相同时模最大，就是 `2` 了。

kuing

同理 $\vv{OM}-\vv{ON}=\vv{BA}+\vv{AM}-\vv{BN}$，也就是一个长为 `2\sqrt2` 的向量再加上两个单位向量的差，于是结果显然就和选项一样。
至于 A 和 D 看图即知正确。

游客

aishuxue

对称的。谢谢

游客

对，对称过去，两圆变一圆了。

isee

我来“理”你一下，谁让你题感太好了呢。。。。。这当压轴题不值一提。。。是这感觉吧？




另外，游客和你补充的差不多。

最后对称一下，两圆变一圆，不知道是谁先提出来的，多半是楼主。。。


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结合复数加减法的几何意义，这样看应该也是可以的。
$\vv{OM}-\vv{ON}$ 即$z_M - z_N$ 从而C选项就表示这两圆上各一点的距离。
$\abs{\vv{OM}+\vv{ON}}$即$\abs{z_M+z_N}=\abs{z_M-(-z_N)}$，正好一圆上任意两的距离。

isee

我突然想起了，在论坛中 乌贼 严格 证明过（或者是类似的结论）经过两圆连心时，$PM$取最大与最小。

乌贼

回复 10# isee
是这题吗？
  bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&t … 25&extra=page=16
不一样啊

isee

回复 11# 乌贼

哟，人教BBS能打开了了了
   

并不多，我应该是指的这个 forum.php?mod=viewthread&tid=4943，不过，我记错了内容