求所有的多项式f(x),使得f($x^2$)=f(x)f(x+1)

realnumber

暂时找到f(x)=0,f(x)=1,$f(x)=(x(x-1))^n$,
最高次系数看来为1，这个显然.f(x)=0实数根有的话，如果有负的，那么等式两边实数根的个数就不一样的，重根按重数计。
f(x)=0的最大零点设为a,那么f($x^2$)的零点最大为$\sqrt{a}$,由等式得到$a=\sqrt{a}$，类似最小正根也为1.
虚数根怎么考虑？想不清楚了，虚根对应着复平面上的点，开方是辐角减半,f(x)=0,f(x+1)=0的虚根依然是平移，..这样糊涂了

kuing

看这里 forum.php?mod=viewthread&tid=450

realnumber

回复 2# kuing
1楼已经否定了f(x)=0有负实数根。
想明白了，虚根是没有的，由等式说明f(x)=0的虚根开方后一半仍为f(x)=0的虚根，说明这些虚根的模为1，模为1的虚根往左平移1个单位后的模仍为1，则这个虚根只能为$z_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$或$z_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，但这两个虚根开方后都不再出现$z_1,z_2$因此，f(x)=0，没有虚根.
这样1楼是全部解了

realnumber

谢了k,我会看看，好像与我的办法不一样

realnumber

2楼链接里的帖子的1楼也可以这个办法去分析

isee

这一组题均是竞赛的感觉。。。

realnumber

是的，偶而去感受了下一中的竞赛课，就把几题发上来了

游客

感觉那些答案都没整理过，写得不简捷。
关注到零点的个数有限和零点的构造，思路基本就有了。
思路的关键词：常数函数，有限零点，零点的模不变，零点迭代。