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战巡
Posted at 2013-10-20 14:09:11
这个有点意思........
令：
\[f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i=a_n\prod_{j=1}^n(x-x_j)\]
其中$x_j$为方程$f(x)=0$的解，可以为复数
首先易证$a_n=0$或$a_n=1$，$a_n=0$时$f(x)=0$，没什么好研究的，不管它了，令$a_n=1$
那么接下来逐次展开$f(x)f(x-1)-f(x^2)$，比对每一项系数时，可以得到一个关于系数$a_i$的方程组，但这个方程组每一条方程都是一次方程，而且系数全为实数，因此可知$a_i$必然全为实数
然后嘛...
\[f(x)f(x-1)=f(x^2)\]
\[\prod_{i=1}^n(x-x_i)(x-x_i-1)=\prod_{i=1}^n(x^2-x_i)\]
对于这个方程左边，带入$x=x_1,x_2,...,x_n,x_1+1,x_2+1,...,x_n+1$，它都为$0$，因此对右边，这些$x$也是它等于$0$的解
也就是说
\[x_i^2\in\{x_1,x_2,...,x_n\},(x_i+1)^2\in\{x_1,x_2,...,x_n\}\]
好，我们不妨假设其中一个数为实数，比如$x_1=k, k\in R$
那么有$(x_1+1)^2=(k+1)^2\in\{x_1,x_2,...,x_n\} $，即存在$x_j=(x_1+1)^2=(k+1)^2>k$，那么$x_j$也是实数，且比$x_1$要大，反复如此的话最终肯定会超出任意有限元素集合的上限，必然要求集合$\{x_1,x_2,...,x_n\}$有无穷多个元素，显然不对，因此$x_i$全都不是实数
换句话说，$n$只能为偶数，因为奇数次多项式必然有实数根
既然没有实数根，全为复数根，且为实系数多项式，那么肯定是一对一对的共轭根，重新排列顺序使得$x_{2k-1}$与$x_{2k}$共轭，且$x_{2k-1}+x_{2k}=b_k\in R, x_{2k-1}x_{2k}=c_k>0$，即$x_{2k-1},x_{2k}$为方程$x^2-b_kx+c_k=0$的解
先考虑最简单的情况，$n=2$
此时如果令$x_1^2=x_1,x_2^2=x_2$是不行的，最终得到实数解，只能令$x_1^2=x_2,x_2^2=x_1$，得$x_1=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$或者反过来
经过验证可以知道$(x_1+1)^2=x_1$和$(x_2+1)^2=x_2$
因此这一组是可以的，此时$f(x)=x^2+x+1$，同时也可以知道，任意多组这样的重根也满足条件，因此$f(x)=(x^2+x+1)^n$也可以
好了，上面那一组解里面完全是两个共轭复数自己跟自己算，没有其他数参与，一旦其他组合成立，比如存在这样的$f(x)$满足条件，那么加入任意多组上面那组重根也可以，即$f(x)(x^2+x+1)^n$也满足条件，所以重根的情况先不考虑了，$f(x)=0$顶多存在一组上面那个解，看看还有没有其他可能
接下来考虑这样的问题，假设$x_1^2=x_{2k-1},x_2^2=x_{2k}$，且$k\ne 1$，则有
\[x_1^2x_2^2=c_1^2=x_{2k-1}x_{2k}=c_k\]
然后像上面那样迭代
\[x_{2k-1}^2x_{2k}^2=c_k^2=x_{2j-1}x_{2j}=c_j, j\ne k\]...
假设$c_1>1$，那么$c_k=c_1^2>c_1=1$，同理$c_j>c_k$，而即便$x^2+x+1=0$的那组解在里面，也不可能出现在这条链里，因为这里$c=1$，那么根本不用考虑那个，不断如此最后肯定超出上限
同理假设$c_1<1$，$c_k=c_1^2<c_1$，$c_j<c_k$，最后超出下限
那么只能$c_1=1$，同理证明所有$c_k=1$，
同样的办法，令$x_{2k-1}=p_k+iq_k,x_{2k}=p_k-iq_k$，那么$p_k^2+q_k^2=c_k=1$，
而$(x_1+1)^2=x_{2k-1},(x_2+1)^2=x_{2k}$，有$(x_1+1)^2+(x_2+1)^2=2[(p_1+1)^2-q_1^2]=4p_1(p_1+1)=x_{2k-1}+x_{2k}=2p_k$
假设$p_1\ne -\frac{1}{2}$，可以证明$p_k>-\frac{1}{2}$，然后再次迭代$p_j>p_k>-\frac{1}{2}$，最后超出上限
可知$p_1=-\frac{1}{2}$，且任意$p_k=-\frac{1}{2}$，$b_k=2p_k=-1$
于是........
每一组$x_{2k-1},x_{2k}$都是$x^2+x+1=0$的解...
这就说明只有$f(x)=0$或$f(x)=(x^2+x+1)^n$是满足条件的 |
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，谁出的？我出的？
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