2018年天津卷理科第8题 向量内积

isee

来了来了，不过，不想算。。。

如图，在平面四边形$ABCD$中，$AB \bot BC$，$AD \bot CD$，$\angle BAD = 120^\circ $，$AB = AD = 1$. 若点$E$为边$CD$上的动点，则$\overrightarrow {AE}  \cdot \overrightarrow {BE} $ 的最小值为

选项略

kuing

不用怎么算啊，又用那啥就行了 $4\vv{EA}\cdot\vv{EB}=(\vv{EA}+\vv{EB})^2-(\vv{EA}-\vv{EB})^2$，下略。

乌贼

\[ \vv{AE}\cdot\vv{BE}=AE\times EF=EM^2=EO^2-MO^2\geqslant (EN+NO)^2-\dfrac{1}{4}=(1+\dfrac{1}{4})^2-\dfrac{1}{4}=\dfrac{21}{16} \]

敬畏数学

回复 3# 乌贼
有见套路题（积化。。。。）

isee

\[ \vv{AE}\cdot\vv{BE}=AE\times EF=EM^2=EO^2-MO^2\geqslant (EN+NO)^2-\dfrac{1}{4}=(1+\dfrac{1}{4}) ...
乌贼 发表于 2018-6-9 03:03

这种切割线的构造实在是厉害

isee

回复 2# kuing


然后咋办？

isee

常规计算如下。

设$ED=x$，则
\begin{align*}
\vv {EA}\cdot\vv{EB}&=(\vv{ED}+\vv{DA})(\vv{EC}+\vv{CB})\\
&=\vv{ED}\cdot\vv{EC}+\vv{ED}\cdot\vv{CB}+\vv{DA}\cdot\vv{EC}+\vv{DA}\cdot\vv{CB}\\
&=-x(\sqrt 3-x)+\frac {\sqrt 3 x}2+0+\frac{3}2\\
&=\left(x-\frac {\sqrt 3}4\right)^2+\frac{21}{16}\\
&\geqslant \frac {21}{16}
\end{align*}

色k

回复 6# isee

然后还用我说？

isee

回复 8# 色k

没理解到方向。。说吧。。

isee

回复  isee

然后还用我说？
色k 发表于 2018-6-11 11:12

不要说取AB中点吧？然后此中点到CD距离最小？最后与3楼同质？

色k

回复 10# isee

当然啊

游客

按乌贼的思路，还变成了基本不等式。
作 $\mathrm{BF} \perp \mathrm{CD}$ 于 $\mathrm{F}, \mathrm{BG} \perp \mathrm{DA}$ 于 G ，则：

\[
\begin{aligned}
& \overrightarrow{\mathrm{EA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{~EB}}=(\overrightarrow{\mathrm{ED}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{EB}}=-\mathrm{ED} \cdot \mathrm{EF}+\mathrm{DA} \cdot \mathrm{DG}=\frac{3}{2}-\mathrm{ED} \cdot \mathrm{EF} . \\
& 4 \mathrm{ED} \cdot \mathrm{EF} \leqslant(\mathrm{ED}+\mathrm{EF})^2=\mathrm{BG}^2=\frac{3}{4}
\end{aligned}
\]


2楼的运算可以用上这个矩形。

走走看看

回复 7# isee

$倒数第三行笔误，最后一个数字应是\frac{3}{2}$。

走走看看

回复 10# isee

Kuing的意思是，用到AB中点F。这样就变成了$EF^2-AF^2$，而AF为定值，F点为定点，因此只要EF最小即可。

E是CD上的动点，所以EF的最小值是过F点向DC所作的垂线段长，设垂足为$G，EF（min）=FG=1+\frac{1}{2}×cos60°=\frac{5}{4}$。

isee

回复 13# 走走看看

哎呀呀，真认真看了哇，论坛不少经典题~

hbghlyj

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