一个函数（原本阿氏圆)的最值问题

力工

如果不用数形结合(阿氏圆）各位高人怎么玩？
已知存在实数$x$使$f(x)=2\sqrt{(cosx+\dfrac{1}{2})^2+sin^2x}-\sqrt{cos^2x+(sinx-\dfrac{1}{2})^2}\geqslant m$，求$m$的取值范围.

kuing

将阿氏圆翻译成纯代数过程即可写出不用数形结合的装逼解法

力工

回复 2# kuing
如果没有对阿氏圆有深入的思考，这样的题真是只能画个圆就止步了。所以，我想能不能用算来血拼.

kuing

因为
\begin{align*}
(2\cos x+1)^2+4\sin ^2x&=4\cos ^2x+4\sin ^2x+4\cos x+1\\
&=4+4\cos x+\cos ^2x+\sin ^2x\\
&=(\cos x+2)^2+\sin ^2x,
\end{align*}
所以
\begin{align*}
f(x)&=\sqrt {(\cos x+2)^2+\sin ^2x}-\sqrt {\cos ^2x+\left( {\sin x-\frac 12} \right)^2}\\
&\leqslant \sqrt {\cos ^2x+\left( {\sin x-\frac 12} \right)^2}+\sqrt {2^2+\left( {\frac 12} \right)^2}-\sqrt {\cos ^2x+\left( {\sin x-\frac 12} \right)^2}\\
&=\frac {\sqrt {17}}2,
\end{align*}
取等懒得写。

kuing

如果我不说2楼的那句话，而是直接贴出楼上的过程，你会不会被我忽悠到？

力工

回复 5# kuing
我觉得k神是用了三角不等式啊。而不是所说的改写装逼式。

isee

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回复 3# 力工
稍微解释一下，前三楼。

化题：记$A(\cos x,\sin x),B(-0.5,0),C(0,0.5)$ ，则$$y=2AB-AC.$$

分析：化去$AB$前的$2$倍，设$2AB=AQ$则$$\frac{AB}{AQ}=\frac 12.$$

在结合已知点$A$在单位圆上，且$B$为定点，于是点$A$到定点$B$，$Q$距离之比为$0.5$，此时，点 A 所在的圆就阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.


解法：

令$$OA^2=OB\cdot OQ,\Rightarrow OQ=2,$$取点$Q(-2,0)$则有$$\triangle OBA\sim\triangle OAQ,\Rightarrow \frac{AB}{AQ}=\frac{OA}{OQ}=\frac 12.$$
这样一来，$$y=2AB-AC=AQ-AC\geqslant QC=\frac{\sqrt{17}}2.$$
取“=”时，$A$，$Q$，$C$三共线，且点$A$在$QC$的延长线上.

kuing

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我觉得k神是用了三角不等式啊。而不是所说的改写装逼式。
力工 发表于 2018-6-15 07:40

你用阿氏圆最后是不是要用到两边之差小于第三边？那三角形不等式的几何意义是什么？
都说了是改写的你还觉得不是，看来忽悠你真是很容易随便换个包装你就以为是解法二了

isee

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GeoGeBra 如何批量更改点名称（？标签？）的大小？折腾好一会都没发现在那里可以设置。

kuing

回复 9# isee
不知道，好久没用它了，只是N年前用过一段时间

isee

回复 10# kuing

敬畏数学

此题一看吓一跳，拼凑那个图像太明显。