一个三元不等式的加强

12673zf

$x^2+2y^2+3z^2\ge k(xy+yz+zx)$
当k=$\sqrt{3}$，是比较好证明的，但是否存在k>$\sqrt{3}$，使得对于任意实数x,y,z不等式恒成立呢？

kuing

`k_{\max}=4\cos(\pi/9)-2`

kuing

这类问题早就被玩烂，我也不卖关子了，直接搬 20 年前的《数学奥林匹克教程》上的过程：

12673zf

回复 3# kuing


    谢谢大佬的解答，长见识了。

敬畏数学

此题算是一个略加改编的题。其实很简单直接配方（二次）或者二次函数图像解决。或者直接猜K=2，再正之OK!解决。

kuing

回复 5# 敬畏数学

2# 的结果表明 k=2 不成立

lemondian

回复 6# kuing

这个行不行呢？

kuing

懒得看，你不信你就试试代入 x=5/2, y=z=1 看看 k=2 成不成立

lemondian

回复 8# kuing


    这是竞赛题所给的答案，不是我做的，我没验证过，难道原答案有错？

确实如此，验证不通过！原答案有误！

那么7#的解法问题出现在哪呢？

kuing

才想起，二次函数的法子之前在 forum.php?mod=redirect&goto=findpost& … d=5263&pid=26005 （9楼）也写过，同样可以得出3#的结论……

12673zf

回复 9# lemondian


    题目出处是安徽2018年初赛第11题，我当时选的是x=3，y=2，z=1（尽量偏向排序不等式中的倒序），有k<20/11约为1.81，所以我猜可能没有更大的值了。

敬畏数学

回复 5# 敬畏数学
刚才在刷一道题时，想起貌似著名不等式，x^2+y^2+z^2》2xyCOSA+2xzCOSB+2yZCOSC（A,BC为三角形内角）
,再利用著名三角恒等式cos^2A+cos^2B+cos^2c+2cosACOSBCOSC=1,得到g(k)=k^3+6k^2-24=0,且|K|《2根号2，哈哈，三次函数问根得问题，轻松导数上来，零点存在定理，（0，+∞）递增，端点值代入为负，完毕！这种套路题很流行的，多刷！

敬畏数学

回复 7# lemondian
运算低级错误！配方法也时OK的！

敬畏数学

回复 3# kuing
脑细胞强大！

yao4015

对二次型来说, 判别式法是非常好的选择, 原因是二次型的判别式仍然是二次型, 并且减少一个变元, 因此可以递推下去. 很容易求得所要的最佳值是方程$k^3+6k^2-24=0$ 的唯一正根, 大约是1.758.

敬畏数学

回复 15# yao4015
但是此题全凭二次好像很难搞定。K=2不行。

yao4015

回复 16# 敬畏数学

k=2, 上面的不等式根本不成立. 算出来的判别式是不定的二次型.  怎么会很难搞定呢?

敬畏数学

回复 17# yao4015
确实是可以的。一样的。简单就是二次玩到底，最后得到：$ |k|\leqslant 2\sqrt{2},k^3+6k^2-24\geqslant 0$

lemondian

回复 15# yao4015

这个根：1.758如何求得？三次方程求解吗？

lemondian

回复 18# 敬畏数学

应该是$|k|\leqslant 2\sqrt{2},k^3+6k^2-24\leqslant 0$吧？