一道三角函数题

81096570

已知在$\triangle ABC$中,$3cosA+2cosB=8cosC$  ，求$cosC$的最大值

色k

已知$3cosA+2cosB=8cosC$  ，求$cosC$的最大值
81096570 发表于 2017-6-23 11:56

5/8呗，A=B=0时取等

kuing

嘛，楼主明显打漏了条件：在 $\triangle ABC$ 中，……

三角形的话，这题还是有点意思嘀……

根据嵌入不等式，对任意 $x$, $y$, $z\inR$ 及 $\triangle ABC$ 有
\[2yz\cos A+2zx\cos B+2xy\cos C\leqslant x^2+y^2+z^2,\]
待定正数 $t$，令 $x=\sqrt t$, $y=3\sqrt t/2$, $z=1/\sqrt t$，则上式化为
\[3\cos A+2\cos B+3t\cos C\leqslant \frac{13}4t+\frac1t,\]
由条件 $3\cos A+2\cos B=8\cos C$，上式化为
\[\cos C\leqslant \frac1{8+3t}\left( \frac{13}4t+\frac1t \right),\]
现在，取
\[t=\frac{\sqrt{217}+3}{26},\]
代入化简得
\[\cos C\leqslant \frac{\sqrt{217}-3}{32},\]
不难验证，当
\[\led
\cos A&=\frac{3\sqrt{217}-4}{52}, \\
\cos B&=\frac{4\sqrt{217}-27}{104}, \\
\cos C&=\frac{\sqrt{217}-3}{32}
\endled\]
时满足条件等式并且 $A$, $B$, $C$ 构成三角形，那么这就是取等条件，所以 $\cos C$ 的最大值就是 $\bigl( \sqrt{217}-3 \bigr)/32$。

81096570

是三角形中，呵呵

isee

回复 3# kuing


    这个$\frac1{8+3t}\left( \frac{13}4t+\frac1t \right)$得三次方程了吧？怎么求出精确值的？

kuing

回复 5# isee

求导后解的是二次方程

isee

回复 6# kuing


    那就是我算错了，，嘿嘿。。。