一个三元不等式的加强

yao4015

回复 19# lemondian

当然是近似求解了,唯一正根是显然的,因为系数的变号数为1 (笛卡尔符号法则).
如果你想要精确解, 卡丹公式就可以了. 当然也可以象3#那样使用三角函数.

lemondian

仿kuing的做法，写了这个证法，不知是否可行？
forum.php?mod=viewthread&tid=5263#pid26005
当 $x=0$ 时，不等式变为 $2 y^2+3 z^2 \geq k y z$ ，必须满足 $|k| \leq 2 \sqrt{6}$，
当 $y=0$ 时，不等式变为 $x^2+3 z^2 \geq k z x$ ，必须满足 $|k| \leq 2 \sqrt{3}$，
当 $z=0$ 时，不等式变为 $x^2+2 y^2 \geq k x y$ ，必须满足 $|k| \leq 2 \sqrt{2}$。

当 $x, y, z$ 均不为 0 时，
今 $f(x, y, z)=x^2+2 y^2+3 z^2-k(x y+y z+z x)$
\[
=x^2-k(y+z) x+2 y^2+3 z^2-k y z
\]
计算 $f(x, y, z)$ 关于 $x$ 的判别式：
\[
\begin{aligned}
\Delta & =k^2(y+z)^2-4\left(2 y^2+3 z^2-k y z\right) \\
& =\left(k^2-8\right) y^2+\left(2 k^2 z+4 k z\right) y+k^2 z^2-12 z^2
\end{aligned}
\]
需要 $\Delta \geq 0$ 恒成立，则要 $\left\{\begin{array}{l}k^2-8 \geq 0 \\ \left(2 k^2 z+4 k z\right)^2-4\left(k^2-8\right)\left(k^2 z^2-12 z^2\right) \leq 0\end{array}\right.$
解得 $\left\{\begin{array}{l}|k| \leq 2 \sqrt{2} \\ k^3+6 k^2-24 \leq 0\end{array}\right.$

lemondian

那位帮看看？Kuing?

lemondian

再看看这个：可否？
已知嵌入不等式：若 $A+B+C=\pi$，则对于任意的实数 $x, y, z$，都有：
\[
x^2+y^2+z^2 \geq 2 x y \cos C+2 y z \cos A+2 z x \cos A
\]
于是
\[
\begin{aligned}
x^2+(\sqrt{2} y)^2+(\sqrt{3} z)^2 & \geq 2 x(\sqrt{2} y) \cos C+2(\sqrt{2} y) \quad(\sqrt{3} z) \cos A+2(\sqrt{3} z) x \cos B \\
& =2 \sqrt{2} x y \cos C+2 \sqrt{6} y z \cos A+2 \sqrt{3} z x \cos B
\end{aligned}
\]
所以满足 $2 \sqrt{2} \cos C=2 \sqrt{6} \cos A=2 \sqrt{3} \cos B=k$ 即可，
另外有三角恒等式 $\cos ^2 A+\cos ^2 B+\cos ^2 C+2 \cos A \cos B \cos C=1$ ，
代入并化简可得 $k^3+6 k^2-24=0$ ，变形得 $4\left(\frac{k+2}{4}\right)^3-3\left(\frac{k+2}{4}\right)=\frac{1}{2}$ 。
令 $\cos \theta=\frac{k+2}{4}$ ，于是 $4 \cos ^3 \theta-3 \cos \theta=\frac{1}{2}=\cos 3 \theta$ ，即 $3 \theta=\frac{\pi}{3}$ ，得 $\theta=\frac{\pi}{9}$。
所以 $\cos \frac{\pi}{9}=\frac{k+2}{4}$ ，即 $k=4 \cos \frac{\pi}{9}-2$ 。