函数分解为偶函数与奇函数的和

大一新生

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-l, l)$，证明必存在 $(-l, l)$ 上的偶函数 $g(x)$及奇函数 $h(x)$，使得
\[
f(x)=g(x)+h(x) .
\]

大一新生

书上给出了这样的构造：
\begin{align*}
g(x)&=\frac{1}{2}(f(x)+f(-x))\\
h(x)&=\frac{1}{2}(f(x)-f(-x))\\
\end{align*}
这对于这道题而言，$ g(x) $和$ f(x) $是否只能找到诸如上面这样的构造？如果是，唯一性该如何证明呢？

realnumber

用奇函数，偶函数定义可以得到一定是这种形式，同时说明了唯一.
f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)
又f(x)=g(x)+h(x),两式相加减除以2,分别得到g(x),h(x)

realnumber

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大一新生

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Infinity

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与之类似的有一条性质：任何张量都可分解为一个对称张量与一个反对称张量之和。这在场论中经常用到。

hbghlyj

Infinity 发表于 2018-7-8 14:16
任何张量都可分解为一个对称张量与一个反对称张量之和

此言差矣！一般 $n(>3)$ 阶张量不可分解为一个对称张量与一个反对称张量之和
en.wikipedia.org/wiki/Antisymmetric_tensor#Notation
In general, every tensor of rank 2 can be decomposed into a symmetric and anti-symmetric pair as: $T_{ij}={\frac {1}{2}}(T_{ij}+T_{ji})+{\frac {1}{2}}(T_{ij}-T_{ji}).$
This decomposition is not in general true for tensors of rank 3 or more, which have more complex symmetries.

hbghlyj

Decomposing an arbitrary rank tensor into components with symmetries是的，但这很复杂。一个秩为 $3$ 的张量有对称部分、反对称部分，以及一个更难解释的第三部分（但你可以通过减去对称和反对称部分来计算它）。一般来说，一个秩为 $n$ 的张量根据对称群 $S_n$ 的不可约表示分解，参见 Schur-Weyl 对偶性。这些表示的数量是 $p(n)$，其中 $p(n)$ 是 分拆函数，因此一个秩为 $4$ 的张量分解为 $5$ 部分，一个秩为 $5$ 的张量分解为 $7$ 部分，等等。

问题：上面说一个秩为 $4$ 的张量分解为 $5$ 部分，如何写出这 $5$ 部分？

hbghlyj

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